Corrigé Exercice 23 : Multiples et diviseurs - 5e

 

1) Déterminons :

 

$-\ $ le $PPCM$ de $14\ $ et $\ 15$

 

On constate que $14\ $ et $\ 15$ sont deux entiers naturels consécutifs.

 

Donc,

 

$\begin{array}{rcl} PPCM(14\;;\ 15)&=&14\times 15\\\\&=&210\end{array}$

 

D'où, $\boxed{PPCM(14\;;\ 15)=210}$

 

$-\ $ le $PPCM$ de $24\ $ et $\ 48$

 

On constate que $48$ est un multiple de $24.$

 

Par conséquent, $\boxed{PPCM(24\;;\ 48)=48}$

 

$-\ $ le $PPCM$ de $36\ $ et $\ 84$

 

En décomposant les nombres $36\ $ et $\ 84$ en produits de facteurs premiers, on obtient :

 

$\begin{array}{r|l} 36&2\\18&2\\9&3\\3&3\\1&\end{array}\qquad\begin{array}{r|l} 84&2\\42&2\\21&3\\7&7\\1&\end{array}$

 

Alors, $36=2^{2}\times 3^{2}\ $ et $\ 84=2^{2}\times 3\times 7$

 

Donc, 

 

$\begin{array}{rcl} PPCM(36\;;\ 84)&=&2^{2}\times 3^{2}\times 7\\\\&=&4\times 9\times 7\\\\&=&252\end{array}$

 

D'où, $\boxed{PPCM(36\;;\ 84)=252}$

 

2) Dans chaque cas suivant, déterminons le $PPCM$ de $A\ $ et $\ B\ :$

 

a) $A=2^{7}\times 3^{2}\times 5\times 7\ $ et $\ B=2^{5}\times 3\times 5^{2}$

 

Alors, on a :

 

$\begin{array}{rcl} PPCM(A\;;\ B)&=&2^{7}\times 3^{2}\times 5^{2}\times 7\\\\&=&128\times 9\times 25\times 7\\\\&=&201\,600\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{PPCM(A\;;\ B)=201\,600}$

 

b) $A=2^{3}\times 3\times 5^{2}\times 7\ $ et $\ B=2\times 3^{2}\times 5\times 11$

 

On a alors :

 

$\begin{array}{rcl} PPCM(A\;;\ B)&=&2^{3}\times 3^{2}\times 5^{2}\times 7\times 11\\\\&=&8\times 9\times 25\times 7\times 11\\\\&=&138\,600\end{array}$

 

D'où, $\boxed{PPCM(A\;;\ B)=138\,600}$

 

c) $A=100\ $ et $\ B=180$

 

On décompose d'abord les nombres $100\ $ et $\ 180$ en produits de facteurs premiers.

 

On a alors :

 

$\begin{array}{r|l} 100&2\\50&2\\25&5\\5&5\\1&\end{array}\qquad\begin{array}{r|l} 180&2\\90&2\\45&3\\15&3\\5&5\\1&\end{array}$

 

Donc, $A=2^{2}\times 5^{2}\ $ et $\ B=2^{2}\times 3^{2}\times 5$

 

Ainsi, 

 

$\begin{array}{rcl} PPCM(A\;;\ B)&=&2^{2}\times 3^{2}\times 5^{2}\\\\&=&4\times 9\times 25\\\\&=&900\end{array}$

 

D'où, $\boxed{PPCM(A\;;\ B)=900}$