Corrigé Exercice 23 : Puissances dans $\mathbb{D}$ - 5e

 

1) Montrons que : $4a^{2}\times 25b^{2}=(10ab)^{2}$

 

On a : $4a^{2}\times 25b^{2}=4\times a^{2}\times 25\times b^{2}$

 

Or, on sait que : $4=2^{2}\ $ et $\ 25=5^{2}$

 

Remplaçons alors $4\ $ et $\ 25$ par $2^{2}\ $ et $\ 5^{2}.$

 

On obtient :

 

$\begin{array}{rcl}4a^{2}\times 25b^{2}&=&4\times a^{2}\times 25\times b^{2}\\\\&=&2^{2}\times a^{2}\times 5^{2}\times b^{2}\\\\&=&(2\times a\times 5\times b)^{3}\\\\&=&(2\times 5\times a\times b)^{2}\\\\&=&(10\times a\times b)^{2}\end{array}$

 

Ce qui montre que : $4a^{2}\times 25b^{2}=(10ab)^{2}$

 

2) Montrons que : $8a^{3}\times 27b^{3}=(6ab)^{3}$

 

On a : $8=2^{3}\ $ et $\ 27=3^{3}$

 

Donc, en remplaçant $8\ $ et $\ 27$ par $2^{3}\ $ et $\ 3^{3}$, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl}8a^{3}\times 27b^{3}&=&8\times a^{3}\times 27\times b^{3}\\\\&=&2^{3}\times a^{3}\times 3^{3}\times b^{3}\\\\&=&(2\times a\times 3\times b)^{3}\\\\&=&(2\times 3\times a\times b)^{2}\\\\&=&(6\times a\times b)^{3}\end{array}$

 

D'où, $8a^{3}\times 27b^{3}=(6ab)^{3}$