Corrigé Exercice 23 : Symétrie centrale 5e

 

1) Construisons le triangle $MNP$ tel que

$$MN=7\;cm\;;\ \widehat{MNP}=64^{\circ}\  \text{ et }\ NP=10\;cm$$

2) Plaçons le point $A$ sur le segment $[NP]$ tel que $NA=3.5\;cm$

 

3) On appelle $O$ le milieu du segment $[AM].$ Construisons les points $J\ $ et $\ K$ symétriques respectifs des points $N\ $ et $\ P$ par rapport à $O.$

 

4) Le point $M$ est le symétrique du point $A$ par rapport à $O.$

 

Justifions notre réponse.

 

Comme $O$ est le le milieu du segment $[AM]$ alors, les points $A\ $ et $\ M$ sont symétriques par rapport à $O.$

 

D'où, $M$ est le symétrique de $A$ par rapport à $O.$

 

5) On veut montrer que les droites $(MN)\ $ et $\ (AJ)$ sont parallèles. Pour cela, recopions et complétons le texte de démonstration suivant :

 

Dans la symétrie centrale de centre $O$,

 

$M$ a pour symétrique $A$

 

$N$ a pour symétrique $J$

 

Donc, la droite $(MN)$ a pour symétrique la droite $(AJ)$ et on a $(MN)$ parallèle à $(AJ).$

 

6) En utilisant la même démarche montrons que les longueurs $JK\ $ et $\ NP$ sont égales.

 

Dans la symétrie centrale de centre $O$,

 

$N$ a pour symétrique $J$

 

$P$ a pour symétrique $K$

 

Donc, le segment $[NP]$ a pour symétrique le segment $[JK]$ et on a $NP=JK.$

 

7) En utilisant la même démarche montrons que les angles $\widehat{JPM}\ $ et $\ \widehat{NKA}$ ont même mesure.

 

Dans la symétrie centrale de centre $O$,

 

$J$ a pour symétrique $N$

 

$P$ a pour symétrique $K$

 

$M$ a pour symétrique $A$

 

Donc, l'angle $\widehat{JPM}$ a pour symétrique l'angle $\widehat{NKA}$ et on a $\widehat{JPM}\ $ et $\ \widehat{NKA}$ de même mesure.

 

8) Montrons que les points $K\;,\ M\ $ et $\ J$ sont alignés.

 

Dans la symétrie centrale de centre $O$,

 

$P$ a pour symétrique $K$

 

$A$ a pour symétrique $M$

 

$N$ a pour symétrique $J$

 

On sait que les points $P\;;\ A\ $ et $\ N$ sont alignés.

 

Or, les symétriques de trois points alignés par rapport à un point sont aussi trois points alignés.

 

Par conséquent, les points $K\;,\ M\ $ et $\ J$ sont alignés.