Corrigé Exercice 24 : Ensemble $\mathbb{Q}$ des nombres rationnels 4e

Classe: 
Quatrième
 

Exercice 24

Soient $x\ $ et $\ y$ deux nombres rationnels tels que :
$$x=\dfrac{7934}{934}\ \text{ et }\ y=\dfrac{3794}{973}$$
1) Trouvons les entiers $a\ $ et $\ b$ tels que :
$$a\leq x<a+1\ \text{ et }\ b\leq y<b+1$$
Par calcul direct, on trouve : $x=\dfrac{7934}{934}=8.49$
 
Or, $8<8.49<9$
 
Donc, $8<x<8+1$
 
Par conséquent, $\boxed{a=8}$
 
De la même manière, on a : $y=\dfrac{3794}{973}\simeq 3.899$
 
Or, $3<3.899<4$
 
Ce qui signifie que : $3<y<3+1$
 
Ainsi, $\boxed{b=3}$
 
2) Donnons un encadrement de $x+y$
 
D'après le résultat de la question $1)$, on a :
$$\begin{array}{rcccl} 8&<&x&<&9\\3&<&y&<&4\end{array}$$
Alors, en additionnant membre à membre ces deux encadrements, on obtient :
$$\begin{array}{rcccl} 8&<&x&<&9\\\\+\quad 3&<&y&<&4\\\\\hline \\=\quad 11&<&x+y&<&13\end{array}$$
Ainsi, un encadrement de $x+y$ est donné par :
$$\boxed{11<x+y<13}$$
 
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