Corrigé Exercice 24 : Ensemble $\mathbb{Q}$ des nombres rationnels 4e

Classe:

Quatrième

Soient

$x\$ et

$\ y$ deux nombres rationnels tels que :

$x=\dfrac{7934}{934}\ \text{ et }\ y=\dfrac{3794}{973}$

1) Trouvons les entiers

$a\$ et

$\ b$ tels que :

$a\leq x<a+1\ \text{ et }\ b\leq y<b+1$

Par calcul direct, on trouve :

$x=\dfrac{7934}{934}=8.49$

Or,

$8<8.49<9$

Donc,

$8<x<8+1$

Par conséquent,

$\boxed{a=8}$

De la même manière, on a :

$y=\dfrac{3794}{973}\simeq 3.899$

Or,

$3<3.899<4$

Ce qui signifie que :

$3<y<3+1$

Ainsi,

$\boxed{b=3}$

2) Donnons un encadrement de

$x+y$

D'après le résultat de la question

$1)$ , on a :

$\begin{array}{rcccl} 8&<&x&<&9\\3&<&y&<&4\end{array}$

Alors, en additionnant membre à membre ces deux encadrements, on obtient :

$\begin{array}{rcccl} 8&<&x&<&9\\\\+\quad 3&<&y&<&4\\\\\hline \\=\quad 11&<&x+y&<&13\end{array}$

Ainsi, un encadrement de

$x+y$ est donné par :

$\boxed{11<x+y<13}$

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