Corrigé Exercice 24 : Multiples et diviseurs - 5e

 

1) Déterminons :

 

$-\ $ le $PGDC$ de $56\ $ et $\ 60$

 

En décomposant les nombres $56\ $ et $\ 60$ en produits de facteurs premiers, on obtient :

 

$\begin{array}{r|l} 56&2\\28&2\\14&2\\7&7\\1&\end{array}\qquad\begin{array}{r|l} 60&2\\30&2\\15&3\\5&5\\1&\end{array}$

 

Alors, $56=2^{3}\times 7\ $ et $\ 60=2^{2}\times 3\times 5$

 

Donc, 

 

$\begin{array}{rcl} PGDC(56\;;\ 60)&=&2^{2}\\\\&=&4\end{array}$

 

D'où, $\boxed{PGDC(56\;;\ 60)=4}$

 

$-\ $ le $PGDC$ de $12\ $ et $\ 18$

 

On décompose les nombres $12\ $ et $\ 18$ en produits de facteurs premiers.

 

On obtient alors :

 

$\begin{array}{r|l} 12&2\\6&2\\3&3\\1&\end{array}\qquad\begin{array}{r|l} 18&2\\9&3\\3&3\\1&\end{array}$

 

Donc, $12=2^{2}\times 3\ $ et $\ 18=2\times 3^{2}$

 

Ainsi, 

 

$\begin{array}{rcl} PGDC(12\;;\ 18)&=&2\times 3\\\\&=&6\end{array}$

 

D'où, $\boxed{PGDC(12\;;\ 18)=6}$

 

$-\ $ le $PGDC$ de $200\ $ et $\ 280$

 

En décomposant les nombres $200\ $ et $\ 280$ en produits de facteurs premiers, on obtient :

 

$\begin{array}{r|l} 200&2\\100&2\\50&2\\25&5\\5&5\\1&\end{array}\qquad\begin{array}{r|l} 280&2\\140&2\\70&2\\35&5\\7&7\\1&\end{array}$

 

Alors, $200=2^{3}\times 5^{2}\ $ et $\ 280=2^{3}\times 5\times 7$

 

Donc, 

 

$\begin{array}{rcl} PGDC(200\;;\ 280)&=&2^{3}\times 5\\\\&=&8\times 5\\\\&=&40\end{array}$

 

D'où, $\boxed{PGDC(200\;;\ 280)=40}$

 

2) Déterminons le $PGDC$ de $A\ $ et $\ B$ dans chaque cas suivants :

 

a) $A=2^{4}\times 7\times 11\ $ et $\ B=2^{3}\times 7^{2}\times 11^{3}\times 5$

 

On a alors :

 

$\begin{array}{rcl} PGDC(A\;;\ B)&=&2^{3}\times 7\times 11\\\\&=&8\times 7\times 11\\\\&=&616\end{array}$

 

D'où, $\boxed{PGDC(A\;;\ B)=616}$

 

b) $A=2^{7}\times 5^{8}\times 13\ $ et $\ B=5^{4}\times 23$

 

On a alors :

 

$\begin{array}{rcl} PGDC(A\;;\ B)&=&5^{4}\\\\&=&625\end{array}$

 

D'où, $\boxed{PGDC(A\;;\ B)=625}$

 

c) $A=5\times 7\ $ et $\ B=11\times 13$

 

On a alors : $\boxed{PGDC(A\;;\ B)=1}$