Corrigé Exercice 24 : Racine carrée 3e

Classe: 
Troisième
 

Exercice 24

On donne : a=28+163  et  b=28163

1) Montrons que a×b=4

Pour cela, calculons le produit a×b.

On a :

a×b=28+163×28163=(28+163)×(28163)=(28)2(163)2=(784)(162×32)=(784)(256×3)=784768=16=4

D'où, a×b=4

2) On pose u=a+b  et  v=ab. Calculons u2  et  v2 puis en déduisons u  et  v.

Soit u=a+b alors, u2=(a+b)2.

Donc, d'après la propriété des identités remarquables, on a :

u2=(a+b)2=a2+2×a×b+b2=(28+163)2+2×4+(28163)2=28+163+8+28163=64

D'où, u2=64

Soit v=ab alors, v2=(ab)2.

Donc, d'après la propriété des identités remarquables, on obtient :

v2=(ab)2=a22×a×b+b2=(28+163)22×4+(28163)2=28+1638+28163=48

Ainsi, v2=48

En déduisons u  et  v.

On sait que : u2=64

Alors, u2=64=8

Or, u2=|u| donc, |u|=8

Cherchons alors le signe de u.

On a : u=a+b, ce qui signifie que u est la somme de deux nombres positifs.

Donc, u est positif.

D'où, |u|=u

Par conséquent, u=8

Aussi, on sait que : v2=48

Donc, v2=48=43

Comme, v2=|v| alors, on a : |v|=43

Cherchons le signe de v.

On a : v=ab

Donc, comparons a  et  b

Ces deux nombres étant positifs alors, comparons leur carré.

On a :

a2=(28+163)2=28+163

b2=(28163)2=28163

En faisant la différence entre les carrés de ces deux nombres, on obtient :

a2b2=(28+163)2(28163)2=28+163(28163)=28+16328+163=323

On remarque alors que cette différence 323 est positive.

Ce qui signifie que a est supérieur à b

Ainsi, v est positif

D'où, |v|=v

Or, |v|=43

Par conséquent, v=43

3) On donne X=u+v2  et  Y=uv2. Trouvons X  et  Y puis montrons que a=X  et  b=Y.

Soit X=u+v2 alors, en remplaçant u  et  v par leur valeur, on obtient :

X=u+v2=8+432=2(4+23)2=4+23

D'où, X=4+23

On a : Y=uv2 alors, en remplaçant u  et  v par leur valeur, on trouve :

Y=uv2=8432=2(423)2=423

Donc, Y=423

Montrons que a=X  et  b=Y.

Dans l'expression de X, on remplace u par a+b  et  v par ab.

On obtient :

X=u+v2=(a+b)+(ab)2=a+b+ab2=2a2=a

Donc, X=a

Dans l'expression de Y, remplaçons u par a+b  et  v par ab.

On obtient alors :

Y=uv2=(a+b)(ab)2=a+ba+b2=2b2=a

D'où, Y=b

4) Donnons la valeur approchée par défaut de b à 102 près sachant que 1.732<3<1.733

D'après le résultat de la question 3), on sait que : b=Y

Donc, b=423

Soit : 1.732<3<1.733

Alors, multiplions chaque membre de l'inégalité par 2 en changeant le sens des inégalités.

On obtient alors :
2×1.732>23>2×1.733
Ce qui donne : 3.464>23>3.466

Ajoutons 4 à chaque membre.

On trouve alors :
43.464>423>43.466
C'est-à-dire ; 0.536>423>0.534

Ce qui peut encore s'écrire : 0.534<423<0.536

Ainsi, on obtient :
0.53<b<0.54
D'où, une valeur approchée de b à 102 près par défaut est : 0.53

 

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