Corrigé Exercice 24 : Racine carrée 3e
Exercice 24
1) Montrons que a×b=4
Pour cela, calculons le produit a×b.
On a :
a×b=√28+16√3×√28−16√3=√(28+16√3)×(28−16√3)=√(28)2−(16√3)2=√(784)−(162×√32)=√(784)−(256×3)=√784−768=√16=4
D'où, a×b=4
2) On pose u=a+b et v=a−b. Calculons u2 et v2 puis en déduisons u et v.
Soit u=a+b alors, u2=(a+b)2.
Donc, d'après la propriété des identités remarquables, on a :
u2=(a+b)2=a2+2×a×b+b2=(√28+16√3)2+2×4+(√28−16√3)2=28+16√3+8+28−16√3=64
D'où, u2=64
Soit v=a−b alors, v2=(a−b)2.
Donc, d'après la propriété des identités remarquables, on obtient :
v2=(a−b)2=a2−2×a×b+b2=(√28+16√3)2−2×4+(√28−16√3)2=28+16√3−8+28−16√3=48
Ainsi, v2=48
En déduisons u et v.
On sait que : u2=64
Alors, √u2=√64=8
Or, √u2=|u| donc, |u|=8
Cherchons alors le signe de u.
On a : u=a+b, ce qui signifie que u est la somme de deux nombres positifs.
Donc, u est positif.
D'où, |u|=u
Par conséquent, u=8
Aussi, on sait que : v2=48
Donc, √v2=√48=4√3
Comme, √v2=|v| alors, on a : |v|=4√3
Cherchons le signe de v.
On a : v=a−b
Donc, comparons a et b
Ces deux nombres étant positifs alors, comparons leur carré.
On a :
a2=(√28+16√3)2=28+16√3
b2=(√28−16√3)2=28−16√3
En faisant la différence entre les carrés de ces deux nombres, on obtient :
a2−b2=(√28+16√3)2−(√28−16√3)2=28+16√3−(28−16√3)=28+16√3−28+16√3=32√3
On remarque alors que cette différence 32√3 est positive.
Ce qui signifie que a est supérieur à b
Ainsi, v est positif
D'où, |v|=v
Or, |v|=4√3
Par conséquent, v=4√3
3) On donne X=u+v2 et Y=u−v2. Trouvons X et Y puis montrons que a=X et b=Y.
Soit X=u+v2 alors, en remplaçant u et v par leur valeur, on obtient :
X=u+v2=8+4√32=2(4+2√3)2=4+2√3
D'où, X=4+2√3
On a : Y=u−v2 alors, en remplaçant u et v par leur valeur, on trouve :
Y=u−v2=8−4√32=2(4−2√3)2=4−2√3
Donc, Y=4−2√3
Montrons que a=X et b=Y.
Dans l'expression de X, on remplace u par a+b et v par a−b.
On obtient :
X=u+v2=(a+b)+(a−b)2=a+b+a−b2=2a2=a
Donc, X=a
Dans l'expression de Y, remplaçons u par a+b et v par a−b.
On obtient alors :
Y=u−v2=(a+b)−(a−b)2=a+b−a+b2=2b2=a
D'où, Y=b
4) Donnons la valeur approchée par défaut de b à 10−2 près sachant que 1.732<√3<1.733
D'après le résultat de la question 3), on sait que : b=Y
Donc, b=4−2√3
Soit : 1.732<√3<1.733
Alors, multiplions chaque membre de l'inégalité par −2 en changeant le sens des inégalités.
On obtient alors :
−2×1.732>−2√3>−2×1.733
Ce qui donne : −3.464>−2√3>−3.466
Ajoutons 4 à chaque membre.
On trouve alors :
4−3.464>4−2√3>4−3.466
C'est-à-dire ; 0.536>4−2√3>0.534
Ce qui peut encore s'écrire : 0.534<4−2√3<0.536
Ainsi, on obtient :
0.53<b<0.54
D'où, une valeur approchée de b à 10−2 près par défaut est : 0.53
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