Corrigé Exercice 24 : Racine carrée 3e
Exercice 24
1) Montrons que $a\times b=4$
Pour cela, calculons le produit $a\times b.$
On a :
$\begin{array}{rcl} a\times b&=&\sqrt{28+16\sqrt{3}}\times\sqrt{28-16\sqrt{3}}\\\\&=&\sqrt{(28+16\sqrt{3})\times(28-16\sqrt{3})}\\\\&=&\sqrt{(28)^{2}-(16\sqrt{3})^{2}}\\\\&=&\sqrt{(784)-(16^{2}\times\sqrt{3}^{2})}\\\\&=&\sqrt{(784)-(256\times 3)}\\\\&=&\sqrt{784-768}\\\\&=&\sqrt{16}\\\\&=&4\end{array}$
D'où, $\boxed{a\times b=4}$
2) On pose $u= a+b\ $ et $\ v=a-b$. Calculons $u^{2}\ $ et $\ v^{2}$ puis en déduisons $u\ $ et $\ v.$
Soit $u=a+b$ alors, $u^{2}=(a+b)^{2}.$
Donc, d'après la propriété des identités remarquables, on a :
$\begin{array}{rcl} u^{2}&=&(a+b)^{2}\\\\&=&a^{2}+2\times a\times b+b^{2}\\\\&=&\left(\sqrt{28+16\sqrt{3}}\right)^{2}+2\times 4+\left(\sqrt{28-16\sqrt{3}}\right)^{2}\\\\&=&28+16\sqrt{3}+8+28-16\sqrt{3}\\\\&=&64\end{array}$
D'où, $\boxed{u^{2}=64}$
Soit $v=a-b$ alors, $v^{2}=(a-b)^{2}.$
Donc, d'après la propriété des identités remarquables, on obtient :
$\begin{array}{rcl} v^{2}&=&(a-b)^{2}\\\\&=&a^{2}-2\times a\times b+b^{2}\\\\&=&\left(\sqrt{28+16\sqrt{3}}\right)^{2}-2\times 4+\left(\sqrt{28-16\sqrt{3}}\right)^{2}\\\\&=&28+16\sqrt{3}-8+28-16\sqrt{3}\\\\&=&48\end{array}$
Ainsi, $\boxed{v^{2}=48}$
En déduisons $u\ $ et $\ v.$
On sait que : $u^{2}=64$
Alors, $\sqrt{u^{2}}=\sqrt{64}=8$
Or, $\sqrt{u^{2}}=|u|$ donc, $|u|=8$
Cherchons alors le signe de $u.$
On a : $u=a+b$, ce qui signifie que $u$ est la somme de deux nombres positifs.
Donc, $u$ est positif.
D'où, $|u|=u$
Par conséquent, $\boxed{u=8}$
Aussi, on sait que : $v^{2}=48$
Donc, $\sqrt{v^{2}}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$
Comme, $\sqrt{v^{2}}=|v|$ alors, on a : $|v|=4\sqrt{3}$
Cherchons le signe de $v.$
On a : $v=a-b$
Donc, comparons $a\ $ et $\ b$
Ces deux nombres étant positifs alors, comparons leur carré.
On a :
$a^{2}=\left(\sqrt{28+16\sqrt{3}}\right)^{2}=28+16\sqrt{3}$
$b^{2}=\left(\sqrt{28-16\sqrt{3}}\right)^{2}=28-16\sqrt{3}$
En faisant la différence entre les carrés de ces deux nombres, on obtient :
$\begin{array}{rcl} a^{2}-b^{2}&=&\left(\sqrt{28+16\sqrt{3}}\right)^{2}-\left(\sqrt{28-16\sqrt{3}}\right)^{2}\\\\&=&28+16\sqrt{3}-(28-16\sqrt{3})\\\\&=&28+16\sqrt{3}-28+16\sqrt{3}\\\\&=&32\sqrt{3}\end{array}$
On remarque alors que cette différence $32\sqrt{3}$ est positive.
Ce qui signifie que $a$ est supérieur à $b$
Ainsi, $v$ est positif
D'où, $|v|=v$
Or, $|v|=4\sqrt{3}$
Par conséquent, $\boxed{v=4\sqrt{3}}$
3) On donne $X=\dfrac{u+v}{2}\ $ et $\ Y=\dfrac{u-v}{2}.$ Trouvons $X\ $ et $\ Y$ puis montrons que $a=X\ $ et $\ b=Y.$
Soit $X=\dfrac{u+v}{2}$ alors, en remplaçant $u\ $ et $\ v$ par leur valeur, on obtient :
$\begin{array}{rcl} X&=&\dfrac{u+v}{2}\\\\&=&\dfrac{8+4\sqrt{3}}{2}\\\\&=&\dfrac{2(4+2\sqrt{3})}{2}\\\\&=&4+2\sqrt{3}\end{array}$
D'où, $\boxed{X=4+2\sqrt{3}}$
On a : $Y=\dfrac{u-v}{2}$ alors, en remplaçant $u\ $ et $\ v$ par leur valeur, on trouve :
$\begin{array}{rcl} Y&=&\dfrac{u-v}{2}\\\\&=&\dfrac{8-4\sqrt{3}}{2}\\\\&=&\dfrac{2(4-2\sqrt{3})}{2}\\\\&=&4-2\sqrt{3}\end{array}$
Donc, $\boxed{Y=4-2\sqrt{3}}$
Montrons que $a=X\ $ et $\ b=Y.$
Dans l'expression de $X$, on remplace $u$ par $a+b\ $ et $\ v$ par $a-b.$
On obtient :
$\begin{array}{rcl} X&=&\dfrac{u+v}{2}\\\\&=&\dfrac{(a+b)+(a-b)}{2}\\\\&=&\dfrac{a+b+a-b}{2}\\\\&=&\dfrac{2a}{2}\\\\&=&a\end{array}$
Donc, $\boxed{X=a}$
Dans l'expression de $Y$, remplaçons $u$ par $a+b\ $ et $\ v$ par $a-b.$
On obtient alors :
$\begin{array}{rcl} Y&=&\dfrac{u-v}{2}\\\\&=&\dfrac{(a+b)-(a-b)}{2}\\\\&=&\dfrac{a+b-a+b}{2}\\\\&=&\dfrac{2b}{2}\\\\&=&a\end{array}$
D'où, $\boxed{Y=b}$
4) Donnons la valeur approchée par défaut de $b$ à $10^{-2}$ près sachant que $1.732<\sqrt{3}<1.733$
D'après le résultat de la question $3)$, on sait que : $b=Y$
Donc, $b=4-2\sqrt{3}$
Soit : $1.732<\sqrt{3}<1.733$
Alors, multiplions chaque membre de l'inégalité par $-2$ en changeant le sens des inégalités.
On obtient alors :
$$-2\times 1.732>-2\sqrt{3}>-2\times 1.733$$
Ce qui donne : $-3.464>-2\sqrt{3}>-3.466$
Ajoutons $4$ à chaque membre.
On trouve alors :
$$4-3.464>4-2\sqrt{3}>4-3.466$$
C'est-à-dire ; $0.536>4-2\sqrt{3}>0.534$
Ce qui peut encore s'écrire : $0.534<4-2\sqrt{3}<0.536$
Ainsi, on obtient :
$$0.53<b<0.54$$
D'où, une valeur approchée de $b$ à $10^{-2}$ près par défaut est : $0.53$
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