Corrigé Exercice 24 : Théorème de Thalès - 3e

 

Soient $F\;,\ A\ $ et $\ B$ trois points alignés dans cet ordre sur une droite $(\mathcal{D})$ tels que $FA=4\;cm\ $ et $\ AB=6\;cm.$

 

$(\mathcal{C})\ $ et $\ (\mathcal{C}')$ sont deux cercles de diamètres respectifs $[AB]\ $ et $\ [AF].$

 

Plaçons un point $C$ sur le cercle $(\mathcal{C})$ tel que $BC=3\;cm.$

 

1) Le triangle $ABC$ est rectangle en $C.$

 

En effet, on remarque que $ABC$ est un triangle inscrit dans le cercle $(\mathcal{C})$ et dont le côté $[AB]$ est un diamètre de ce cercle.

 

Par conséquent, $ABC$ est un triangle rectangle en $C.$

 

2) Calculons la longueur $AC$

 

Comme $ABC$ est un triangle rectangle en $C$ alors, d'après le théorème de Pythagore, on a :

$$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$$

Ainsi,

 

$\begin{array}{rcl} AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}&\Rightarrow& AC^{2}=AB^{2}-BC^{2}\\\\&\Rightarrow&AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}\\\\&\Rightarrow&AC=\sqrt{6^{2}-3^{2}}\\ \\&\Rightarrow&AC=\sqrt{36-9}\\ \\&\Rightarrow&AC=\sqrt{27}\\\\&\Rightarrow&AC=\sqrt{9\times 3}\\\\&\Rightarrow&AC=3\sqrt{3}\end{array}$

 

D'où, $\boxed{AC=3\sqrt{3}\;cm}$

 

3) La droite $(AC)$ coupe le $(\mathcal{C}')$ en $E.$

 

a) Le triangle $AEF$ est rectangle en $E.$

 

En effet, on constate que $AEF$ est un triangle inscrit dans le cercle $(\mathcal{C}')$ et dont le côté $[AF]$ est un diamètre de ce cercle.

 

Par conséquent, $AEF$ est un triangle rectangle en $E.$ 

 

Démontrons que $(BC)\parallel (EF).$

 

En effet, $ABC$ étant rectangle en $C$ alors, $(BC)$ est perpendiculaire à $(AC).$

 

De même, comme $AEF$ est rectangle en $E$ alors, les droites $(EF)\ $ et $\ (AC)$ sont perpendiculaires.

 

Ainsi, $(BC)\ $ et $\ (EF)$ sont deux droites perpendiculaires à la droite $(AC).$

 

Or, on sait que deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles.

 

Par conséquent, les droites $(BC)\ $ et $\ (EF)$ sont parallèles.

 

b) Calculons les longueurs $AE\ $ et $\ EF.$

 

$-\ $ Calcul de $AE$

 

Les droites $(BC)\ $ et $\ (EF)$ étant parallèles alors, les triangles $ABC\ $ et $\ AEF$ sont en position de Thalès.

 

Ainsi, en utilisant le théorème de Thalès, on a :

$$\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{FA}{AB}$$

Alors, en remplaçant $AC\;,\ FA\ $ et $\ AB$ par leur valeur, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl}\dfrac{AE}{3\sqrt{3}}=\dfrac{4}{6}&\Leftrightarrow&6\times AE=4\times 3\sqrt{3}\\\\&\Leftrightarrow&AE=\dfrac{12\sqrt{3}}{6}\\\\&\Leftrightarrow&AE=2\sqrt{3}\end{array}$

 

D'où, $\boxed{AE=2\sqrt{3}\;cm}$

 

$-\ $ Calcul de $EF$

 

En appliquant encore le théorème de Thalès, on a :

$$\dfrac{EF}{BC}=\dfrac{FA}{AB}$$

Alors, en remplaçant $BC\;,\ FA\ $ et $\ AB$ par leur valeur, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl}\dfrac{EF}{3}=\dfrac{4}{6}&\Leftrightarrow&6\times EF=4\times 3\\\\&\Leftrightarrow&EF=\dfrac{12}{6}\\\\&\Leftrightarrow&EF=2\end{array}$

 

D'où, $\boxed{EF=2\;cm}$