Corrigé Exercice 25 : Symétrie centrale 5e
Classe:
Cinquième
Exercice 25
Soit ABC un triangle tel que ^BCA=30∘ et (d) la hauteur passant par A ; la droite (d) coupe la droite (BC) en H.
1) La mesure de l'angle ^HAC est égale à 60∘
En effet, comme H est le pied de la hauteur issue de A alors, le triangle AHC est rectangle en H.
Or, on sait que : dans un triangle rectangle, les angles aigus sont complémentaires.
Ce qui signifie que : ^HAC+^BCA=90∘
Ce qui donne : ^HAC=90∘−^BCA
En remplaçant ^BCA par sa valeur, on obtient :
^HAC=90∘−^BCA=90∘−30∘=60∘
D'où, ^HAC=60∘
2) Soit les points D, E et F symétriques respectifs des points B, H et C par rapport au point A.
a) Justifions que les points D, E, F sont alignés.
On a : H∈[BC] donc, les points B, H et C sont alignés.
On sait que : les symétriques de points alignés par rapport à un point sont des points alignés.
Or, les points D, E et F sont symétriques respectifs des points B, H et C par rapport au point A.
Donc, ils sont alignés.
b) La mesure de l'angle ^AED est égale à 90∘
Justifions notre réponse.
On a :
E est le symétrique de H par rapport à A
D est le symétrique de B par rapport à A
A est le symétrique de A par rapport à A
Donc, l'angle ^AED est le symétrique de l'angle ^AHB par rapport au point A.
Par conséquent, ces deux angles sont de même mesure.
D'où, ^AED=90∘
c) Construisons le cercle circonscrit au triangle AFD.
Pour cela, on trace les trois médiatrices du triangle AFD et leur point de rencontre I représente le centre du cercle circonscrit à ce triangle.
d) Construisons le plus simplement possible le cercle circonscrit au triangle ABC.
On sait que les triangles ABC et AFD sont symétriques par rapport au point A.
Donc, le cercle circonscrit au triangle ABC est symétrique du cercle circonscrit au triangle AFD par rapport à A.
Alors, on construit le symétrique J du centre I par rapport à A puis, on trace le cercle de centre J et passant par les sommets A; B et C. C'est le cercle circonscrit au triangle ABC.
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