Corrigé Exercice 26 : Équations et inéquations du 1er degré à une inconnue 3e

 

On donne les expressions ci-dessous :

$$f(x)=|3x-5|\ \text{ et }\ g(x)=|-5x+2|$$

1) Calculons $f(0)\ $ et $\ g(-3)$

 

En remplaçant $x$ par $0$, dans l'expression de $f(x)$, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} f(0)&=&|3\times 0-5|\\\\&=&|0-5|\\\\&=&|-5|\\\\&=&5\end{array}$

 

Donc, $\boxed{f(0)=5}$

 

En remplaçant $x$ par $-3$, dans l'expression de $g(x)$, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} g(-3)&=&|-5\times(-3)+2|\\\\&=&|15+2|\\\\&=&|17|\\\\&=&17\end{array}$

 

Donc, $\boxed{g(-3)=17}$

 

2) Écrivons chacune des expressions $f(x)\ $ et $\ g(x)$ sans le symbole de la valeur absolue.

 

En effet, on sait que : pour tout nombre réel $a\;,\ |a|$ est égale à $a$ si $a$ est positif et est égale à $-a$ si $a$ est négatif.

 

Donc, en appliquant cette définition de la valeur absolue, on obtient :

 

$|3x-5|=3x-5$ si, et seulement si, $3x-5>0$

 

$|3x-5|=-(3x-5)$ si, et seulement si, $3x-5<0$

 

Ce qui peut encore s'écrire :

 

$|3x-5|=3x-5$ si, et seulement si, $x>\dfrac{5}{3}$

 

$|3x-5|=-3x+5$ si, et seulement si, $x<\dfrac{5}{3}$

 

Ainsi,

 

$f(x)=3x-5$ si, et seulement si, $x>\dfrac{5}{3}$

 

$f(x)=-3x+5$ si, et seulement si, $x<\dfrac{5}{3}$

 

De la même manière, on a :

 

$|-5x+2|=-5x+2$ si, et seulement si, $-5x+2>0$

 

$|-5x+2|=-(-5x+2)$ si, et seulement si, $-5x+2<0$

 

Ce qui peut encore s'écrire :

 

$|-5x+2|=-5x+2$ si, et seulement si, $-5x>-2$

 

$|-5x+2|=5x-2$ si, et seulement si, $-5x<-2$

 

Ce qui donne :

 

$|-5x+2|=-5x+2$ si, et seulement si, $x<\dfrac{2}{5}$

 

$|-5x+2|=5x-2$ si, et seulement si, $x>\dfrac{2}{5}$

 

D'où,

 

$g(x)=-5x+2$ si, et seulement si, $x<\dfrac{2}{5}$

 

$g(x)=5x-2$ si, et seulement si, $x>\dfrac{2}{5}$

 

3) Résolvons l'équation $f(x)=g(x)$

 

Résoudre l'équation $f(x)=g(x)$ revient à résoudre l'équation $|3x-5|=|-5x+2|.$

 

En effet, on sait que : si $a\ $ et $\ b$ sont deux nombres réels alors,

$$|a|=|b|\ \text{ si, et seulement si, }\ a=b\ \text{ ou }\ a=-b$$

En appliquant cette propriété de la valeur absolue, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} |3x-5|=|-5x+2|&\Leftrightarrow&3x-5=-5x+2\ \text{ ou }\ 3x-5=-(-5x+2)\\\\&\Leftrightarrow&3x-5=-5x+2\ \text{ ou }\ 3x-5=5x-2\\\\&\Leftrightarrow&3x+5x=2+5\ \text{ ou }\ 3x-5x=-2+5\\\\&\Leftrightarrow&8x=7\ \text{ ou }\ -2x=3\\\\&\Leftrightarrow&x=\dfrac{7}{8}\ \text{ ou }\ x=\dfrac{3}{-2}\end{array}$

 

Donc, $|3x-5|=|-5x+2|$ si, et seulement si, $x=\dfrac{7}{8}\ $ ou $\ x=-\dfrac{3}{2}$

 

Par conséquent, l'équation $f(x)=g(x)$ a pour solution :

$$S=\left\lbrace -\dfrac{3}{2}\;;\ \dfrac{7}{8}\right\rbrace$$