Corrigé Exercice 26 : Racine carrée 3e

 

1) Déterminons le réel $a$ tel que $36a=1\,296$ puis en déduisons $\sqrt{1\,296}.$

Pour cela, résolvons l'équation $36a=1\,296.$

On a :

$\begin{array}{rcl} 36a=1\,296&\Leftrightarrow&a=\dfrac{1\,296}{36}\\\\&\Leftrightarrow&a=36\end{array}$

Ainsi, $\boxed{a=36}$

Par suite, $1\,296=36\times 36=36^{2}$

D'où, $\boxed{\sqrt{1\,296}=\sqrt{36^{2}}=36}$

2) On donne : $x=3+2\sqrt{2}\;;\  y=3-2\sqrt{2}\ $ et $\ z=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$

a) Calculons $x^{2}\;,\ y^{2}\;,\ xy\ $ et $\ \dfrac{x}{y}$

$-\ $ calcul de $x^{2}$

D'après la propriété des identités remarquables, on a :

$\begin{array}{rcl} x^{2}&=&(3+2\sqrt{2})^{2}\\\\&=&(3)^{2}+2\times 3\times 2\sqrt{2}+(2\sqrt{2})^{2}\\\\&=&9+12\sqrt{2}+(4\times 2)\\\\&=&9+12\sqrt{2}+8\\\\&=&17+12\sqrt{2}\end{array}$

Donc, $\boxed{x^{2}=17+12\sqrt{2}}$

$-\ $ calcul de $y^{2}$

D'après la propriété des identités remarquables, on a :

$\begin{array}{rcl} y^{2}&=&(3-2\sqrt{2})^{2}\\\\&=&(3)^{2}-2\times 3\times 2\sqrt{2}+(2\sqrt{2})^{2}\\\\&=&9-12\sqrt{2}+(4\times 2)\\\\&=&9-12\sqrt{2}+8\\\\&=&17-12\sqrt{2}\end{array}$

D'où, $\boxed{y^{2}=17-12\sqrt{2}}$

$-\ $ calcul de $xy$

D'après la propriété des identités remarquables, on a :

$\begin{array}{rcl} xy&=&(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})\\\\&=&(3)^{2}-(2\sqrt{2})^{2}\\\\&=&9-(4\times 2)\\\\&=&9-8\\\\&=&1\end{array}$

Ainsi, $\boxed{xy=1}$

$-\ $ calcul de $\dfrac{x}{y}$

On a :

$\begin{array}{rcl}\dfrac{x}{y}&=&\dfrac{3+2\sqrt{2}}{3-2\sqrt{2}}\\\\&=&\dfrac{(3+2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})}{(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})}\\\\&=&\dfrac{(3+2\sqrt{2})^{2}}{(3)^{2}-(2\sqrt{2})^{2}}\\\\&=&\dfrac{(3)^{2}+2\times 3\times 2\sqrt{2}+(2\sqrt{2})^{2}}{9-(4\times 2)}\\\\&=&\dfrac{9+12\sqrt{2}+8}{9-8}\\\\&=&\dfrac{17+12\sqrt{2}}{1}\\\\&=&17+12\sqrt{2}\end{array}$

D'où, $\boxed{\dfrac{x}{y}=17+12\sqrt{2}}$

b) Montrons que $\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}$ est un entier relatif.

En réduisant au même dénominateur, on trouve :

$\begin{array}{rcl} \dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}&=&\dfrac{x\times x}{x\times y}+\dfrac{y\times y}{x\times y}\\\\&=&\dfrac{x^{2}}{xy}+\dfrac{y^{2}}{xy}\\\\&=&\dfrac{x^{2}+y^{2}}{xy}\end{array}$

Donc, $\boxed{\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=\dfrac{x^{2}+y^{2}}{xy}}$

Puis, en remplaçant $x^{2}\;;\ y^{2}\ $ et $\ xy$ par leur valeur, on obtient :

$\begin{array}{rcl} \dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}&=&\dfrac{x^{2}+y^{2}}{xy}\\\\&=&\dfrac{17+12\sqrt{2}+17-12\sqrt{2}}{1}\\\\&=&34\end{array}$

D'où, $\boxed{\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=34\quad\text{qui est un entier relatif}}$

Par conséquent, $\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}$ est un entier relatif.

c) Montrons que $\dfrac{1}{z}=z-1$

Soit $z=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$

Alors, $\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}}=\dfrac{2}{\sqrt{5}+1}$

Donc, en rendant rationnel le dénominateur, on obtient :

$\begin{array}{rcl}\dfrac{1}{z}&=&\dfrac{2}{\sqrt{5}+1}\\\\&=&\dfrac{2(\sqrt{5}-1)}{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)}\\\\&=&\dfrac{2(\sqrt{5}-1)}{(\sqrt{5})^{2}-(1)^{2}}\\\\&=&\dfrac{2(\sqrt{5}-1)}{(5-1}\\\\&=&\dfrac{2(\sqrt{5}-1)}{4}\\\\&=&\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\end{array}$

D'où, $\boxed{\dfrac{1}{z}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}}$

Par ailleurs, en calculant $(z-1)$ on trouve :

$\begin{array}{rcl} z-1&=&\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}-1\\\\&=&\dfrac{\sqrt{5}+1-2}{2}\\\\&=&\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\end{array}$

Ainsi, $\boxed{z-1=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}}$

Ce qui montre que $\dfrac{1}{z}=z-1$