Corrigé Exercice 3 : Équations et inéquations du 1er degré à une inconnue 3e

 

Résolvons dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :

 

a) $x^{2}-9(x-1)^{2}=0$

 

On remarque que $x^{2}-9(x-1)^{2}=x^{2}-[3(x-1)]^{2}$

 

Donc, en utilisant les propriétés des identités remarquables, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} x^{2}-9(x-1)^{2}&=&x^{2}-[3(x-1)]^{2}\\\\&=&(x-3(x-1))(x+3(x-1))\\\\&=&(x-3x+3)(x+3x-3)\\\\&=&(-2x+3)(4x-3)\end{array}$

 

Ainsi, $x^{2}-9(x-1)^{2}=0$ si, et seulement si, $$(-2x+3)(4x-3)=0$$

Or, un produit de facteurs est nul si au moins un des facteurs est nul.

 

Donc, $(-2x+3)(4x-3)=0$ si, et seulement si, 

 

$(-2x+3)=0\quad$ ou $\quad(4x-3)=0$

 

Par suite, $-2x=-3\quad$ ou $\quad 4x=3$

 

Par conséquent, $x=\dfrac{-3}{-2}=\dfrac{3}{2}\quad$ ou $\quad x=\dfrac{3}{4}$

 

D'où, $$S=\left\{\dfrac{3}{2}\;;\ \dfrac{3}{4}\right\}$$

b) $\left(x+\dfrac{1}{2}\right)(3-2x)+x^{2}+x+\dfrac{1}{4}=0$ 

 

Nous constatons que $x^{2}+x+\dfrac{1}{4}=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^{2}$

 

Alors, $\left(x+\dfrac{1}{2}\right)(3-2x)+x^{2}+x+\dfrac{1}{4}=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)(3-2x)+\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^{2}$

 

Donc, en prenant $\left(x+\dfrac{1}{2}\right)$ comme facteur commun puis en factorisant on obtient :

 

$\begin{array}{rcl}\left(x+\dfrac{1}{2}\right)(3-2x)+x^{2}+x+\dfrac{1}{4}&=&\left(x+\dfrac{1}{2}\right)(3-2x)+\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^{2}\\\\&=&\left(x+\dfrac{1}{2}\right)\left[(3-2x)+\left(x+\dfrac{1}{2}\right)\right]\\\\&=&\left(x+\dfrac{1}{2}\right)\left(3-2x+x+\dfrac{1}{2}\right)\\\\&=&\left(x+\dfrac{1}{2}\right)\left(-x+\dfrac{7}{2}\right)\end{array}$

 

Ainsi, $\left(x+\dfrac{1}{2}\right)(3-2x)+x^{2}+x+\dfrac{1}{4}=0$ si, et seulement si, $$\left(x+\dfrac{1}{2}\right)\left(-x+\dfrac{7}{2}\right)=0$$

 

On aura alors, $\left(x+\dfrac{1}{2}\right)=0\quad$ ou $\quad\left(-x+\dfrac{7}{2}\right)=0$

 

Ce qui donne, $x=-\dfrac{1}{2}\quad$ ou $\quad x=\dfrac{7}{2}$

 

D'où, $$S=\left\{-\dfrac{1}{2}\;;\ \dfrac{7}{2}\right\}$$

c) $(3x-1)^{2}+9=0$

 

On a : $(3x-1)^{2}+9=0$ si, et seulement si, $(3x-1)^{2}=-9$

 

Or, un carré n'est jamais négatif. Donc, il n'existe pas de réels vérifiant $$(3x-1)^{2}+9=0$$

 

D'où, $$S=\emptyset$$

d) $(x-5)^{2}=3$

 

On a : $(x-5)^{2}=3$ si, et seulement si, $\sqrt{(x-5)^{2}}=\sqrt{3}$

 

Or, $\sqrt{(x-5)^{2}}=|(x-5)|$

 

On aura alors, $|(x-5)|=\sqrt{3}$

 

Donc, $x-5=\sqrt{3}\quad$ ou $\quad x-5=-\sqrt{3}$

 

C'est-à-dire ; $x=5+\sqrt{3}\quad$ ou $\quad x=5-\sqrt{3}$

 

Ainsi, $$S=\{5-\sqrt{3}\;;\ 5+\sqrt{3}\}$$

 

e) $3x^{2}-14=2$

 

On a : $3x^{2}-14=2$ si, et seulement si, $3x^{2}=2+14=16$

 

Ou encore, $x^{2}=\dfrac{16}{3}$

 

Or, on sait que $x^{2}=\dfrac{16}{3}$ si, et seulement si, $\sqrt{x^{2}}=\sqrt{\dfrac{16}{3}}$

 

et comme $\sqrt{x^{2}}=|x|$ alors, on a : $$|x|=\sqrt{\dfrac{16}{3}}$$

Cette équation a pour solution : 

 

$x=\sqrt{\dfrac{16}{3}}=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\quad$ ou $\quad x=-\sqrt{\dfrac{16}{3}}=-\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$

 

D'où, $$S=\left\{-\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\;;\ \dfrac{4\sqrt{3}}{3}\right\}$$

f) $|-2x+5|=\dfrac{1}{2}$ 

 

On a :  $|-2x+5|=\dfrac{1}{2}$ si, et seulement si, 

 

$-2x+5=\dfrac{1}{2}\quad$ ou $\quad-2x+5=-\dfrac{1}{2}$

 

Alors, $-2x=-5+\dfrac{1}{2}\quad$ ou $\quad-2x=-5-\dfrac{1}{2}$

 

Donc, $x=\dfrac{-5+\dfrac{1}{2}}{-2}\quad$ ou $\quad x=\dfrac{-5-\dfrac{1}{2}}{-2}$

 

C'est-à-dire ; $x=\dfrac{5}{2}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{9}{4}\quad$ ou $\quad x=\dfrac{5}{2}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{11}{4}$

 

Ainsi, $$S=\left\{\dfrac{9}{4}\;;\ \dfrac{11}{4}\right\}$$

g) $|4x+\sqrt{3}|=\dfrac{2}{3}$

 

En appliquant la même démarche que dans la question f), on aura :

 

$4x+\sqrt{3}=\dfrac{2}{3}\quad$ ou $\quad 4x+\sqrt{3}=-\dfrac{2}{3}$

 

Alors, $4x=\dfrac{2}{3}-\sqrt{3}\quad$ ou $\quad 4x=-\dfrac{2}{3}-\sqrt{3}$

 

Donc, $x=\dfrac{\dfrac{2}{3}-\sqrt{3}}{4}=\dfrac{2}{3\times 4}-\dfrac{\sqrt{3}}{4}$ 

 

ou $\ x=\dfrac{-\dfrac{2}{3}-\sqrt{3}}{4}=-\dfrac{2}{3\times 4}-\dfrac{\sqrt{3}}{4}$

 

Soit ; $x=\dfrac{1}{6}-\dfrac{\sqrt{3}}{4}=\dfrac{2-3\sqrt{3}}{12}\quad$ ou $\quad x=-\dfrac{1}{6}-\dfrac{\sqrt{3}}{4}=\dfrac{-2-3\sqrt{3}}{12}$

 

Ainsi, $$S=\left\{\dfrac{-2-3\sqrt{3}}{12}\;;\ \dfrac{2-3\sqrt{3}}{12}\right\}$$

h) $\sqrt{(x-2)^{2}}=4$

 

$\sqrt{(x-2)^{2}}=4$ si, et seulement si, $|(x-2)|=4$

 

On aura alors, $x-2=4\quad$ ou $\quad x-2=-4$

 

Par suite, $x=4+2=6\quad$ ou $\quad x=-4+2=-2$

 

D'où, $$S=\{-2\;;\ 6\}$$

i) $2|3-4x|-4|2x-1|=0$

 

$2|3-4x|-4|2x-1|=0$ si, et seulement si, $2|3-4x|=4|2x-1|$

 

Ce qui donne, en simplifiant par $2\;,\ |3-4x|=2|2x-1|=|2(2x-1)|$

 

Alors, $|3-4x|=|2(2x-1)|$ si, et seulement si,

 

$3-4x=2(2x-1)=4x-2\quad$ ou $\quad 3-4x=-2(2x-1)=-4x+2$

 

Donc, $-4x-4x=-2-3\quad$ ou $\quad 4x-4x=2-3$

 

Ce qui donne, $-8x=-5\quad$ ou $\quad 0x=-1$

 

Or, $0x=-1$ est impossible

 

Par conséquent, on trouve $x=\dfrac{5}{8}$

 

Ainsi, $$S=\left\{\dfrac{5}{8}\right\}$$

j) $|5x-2|+3=0$

 

$|5x-2|+3=0$ si, et seulement si, $|5x-2|=-3$

 

Mais comme une valeur absolue n'est jamais négative alors, $$S=\emptyset$$

 

k) $x^{2}+4=(x^{2}-2)^{2}$

 

On a : $x^{2}+4=(x^{2}-2)^{2}$ si, et seulement si, $x^{2}=(x^{2}-2)^{2}-4$

 

Or, $(x^{2}-2)^{2}-4=((x^{2}-2)-2)((x^{2}-2)+2)=(x^{2}-4)(x^{2})$

 

On aura alors, $x^{2}=x^{2}(x^{2}-4)$

 

Ce qui donne, $x^{2}-x^{2}(x^{2}-4)=0$

 

Soit ; $x^{2}(1-(x^{2}-4))=0$

 

Donc, $x^{2}=0\quad$ ou  $\quad 5-x^{2}=0$

 

Par suite, $x=0\quad$ ou  $\quad \sqrt{x^{2}}=\sqrt{5}$

 

Or, $\sqrt{x^{2}}=\sqrt{5}$ est équivalente à $|x|=\sqrt{5}$ 

 

et $|x|=\sqrt{5}$ si, et seulement si, $\quad x=\sqrt{5}\quad$ ou  $x=-\sqrt{5}$ 

 

Par conséquent, l'équation $x^{2}+4=(x^{2}-2)^{2}$ aura pour solutions :

 

$x=0\quad$ ou  $\quad x=\sqrt{5}\quad$ ou  $\quad x=-\sqrt{5}$

 

Ainsi, $$S=\{-\sqrt{5}\;;\ 0\;;\ \sqrt{5}\}$$

l) $\dfrac{2x-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=0$

 

$\dfrac{2x-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=0$ si, et seulement si, le numérateur est nul.

 

C'est-à-dire ; $2x-\sqrt{3}=0$

 

Soit ; $x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

 

Donc,  $$S=\left\{\dfrac{3}{2}\right\}$$