Corrigé Exercice 3 : Calcul algébrique 3e

 

Factorisons chacune des expressions suivantes :

 

Soit : $f(x)=(3x+1)^{2}-15(3x+1)$

 

On a alors un facteur commun $(3x+1)$ donc, 

 

$\begin{array}{rcl} f(x)=(3x+1)^{2}-15(3x+1)&=&(3x+1)[(3x+1)-15]\\\\&=&(3x+1)(3x-14)\end{array}$

 

D'où, $\boxed{f(x)=(3x+1)(3x-14)}$

 

Soit : $g(x)=2x(\sqrt{8}-2x)-(\sqrt{2}-x)(x-1).$

 

Dans l'expression de $g$ s'il y a un facteur commun, ça ne peut être que $(\sqrt{2}-x)$ alors, regardons si on peut avoir ce facteur dans $(\sqrt{8}-2x).$

 

On a : 

 

$\begin{array}{rcl}(\sqrt{8}-2x)&=&(\sqrt{4\times 2}-2x)\\\\&=&(\sqrt{4}\times\sqrt{2}-2x)\\\\&=&(2\sqrt{2}-2x)\\\\&=&2(\sqrt{2}-x)\end{array}$

 

Donc, $\boxed{(\sqrt{8}-2x)=2(\sqrt{2}-x)}$

 

Ainsi, dans l'expression de $g(x)$, en remplaçant $(\sqrt{8}-2x)$ par $2(\sqrt{2}-x)$, on obtient :

$$g(x)=4x(\sqrt{2}-x)-(\sqrt{2}-x)(x-1)$$

On a alors un facteur commun $(\sqrt{2}-x).$

 

Donc, 

 

$\begin{array}{rcl} g(x)&=&2x(\sqrt{8}-2x)-(\sqrt{2}-x)(x-1)\\\\&=&4x(\sqrt{2}-x)-(\sqrt{2}-x)(x-1)\\\\&=&(\sqrt{2}-x)[4x-(x-1)]\\\\&=&(\sqrt{2}-x)(4x-x+1)\\\\&=&(\sqrt{2}-x)(3x+1)\end{array}$

 

D'où, $\boxed{g(x)=(\sqrt{2}-x)(3x+1)}$

 

Soit : $h(x)=x^{3}-x-(x+1)(2x+10).$

 

Dans l'expression de $h$ on factorise $x^{3}-x$

 

On a alors : $x^{3}-x=x(x^{2}-1)=x(x-1)(x+1)$

 

$\begin{array}{rcl} x^{3}-x&=&x(x^{2}-1)\\\\&=&x(x-1)(x+1)\end{array}$

 

Donc, $\boxed{x^{3}-x=x(x-1)(x+1)}$

 

Ainsi, dans l'expression de $h(x)$, en remplaçant $x^{3}-x$ par $x(x-1)(x+1)$, on obtient :

$$h(x)=x(x-1)(x+1)-(x+1)(2x+10)$$

On reconnait alors un facteur commun $(x+1)$

 

Par suite,

 

$\begin{array}{rcl} h(x)&=&x^{3}-x-(x+1)(2x+10)\\\\&=&x(x-1)(x+1)-(x+1)(2x+10)\\\\&=&(x+1)[x(x-1)-(2x+10)]\\\\&=&(x+1)(x^{2}-x-2x-10)\\\\&=&(x+1)(x^{2}-3x-10)\end{array}$

 

Donc, $h(x)=(x+1)(x^{2}-3x-10)$

 

Par ailleurs, on remarque dans cette dernière expression de $h(x)$ que le terme $(x^{2}-3x-10)$ ne renvoie pas à une identité remarquable et n'admet pas de facteur commun.

 

Mais, on constate que $2\times(-5)=-10\ $ et $\ 2x-5x=-3x$

 

Ainsi, pour factoriser $(x^{2}-3x-10)$, on adopte la démarche suivante :

 

$\begin{array}{rcl} x^{2}-3x-10&=&x^{2}+2x-5x-10\\\\&=&x(x+2)-5(x+2)\\\\&=&(x+2)(x-5)\end{array}$

 

Donc, $(x^{2}-3x-10)=(x+2)(x-5)$

 

D'où, $\boxed{h(x)=(x+1)(x+2)(x-5)}$

 

Soit : $j(x)=x^{2}+6x+8.$

 

On constate que l'expression de $j$ ne renvoie pas à une identité remarquable et n'admet pas de facteur commun. Donc, $j(x)$ n'est pas factorisable à travers ces deux méthodes.

 

Par contre, on a : $4\times 2=8\ $ et $\ 4x+2x=6x$

 

Ainsi, pour factoriser $j(x)$, on adopte d'abord la démarche suivante :

 

$\begin{array}{rcl} j(x)&=&x^{2}+6x+8\\\\&=&x^{2}+4x+2x+4+4\\\\&=&(x^{2}+4x+4)+2x+4\end{array}$

 

On voit alors apparaitre une identité remarquable.

 

Donc,

 

$\begin{array}{rcl} j(x)&=&(x^{2}+4x+4)+2x+4\\\\&=&(x+2)^{2}+2(x+2)\end{array}$

 

Ensuite, en identifiant un facteur commun $(x+2)$, on a : 

 

$\begin{array}{rcl} j(x)&=&(x+2)^{2}+2(x+2)\\\\&=&(x+2)[(x+2)+2]\\\\&=&(x+2)(x+2+2)\\\\&=&(x+2)(x+4)\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{j(x)=(x+2)(x+4)}$

 

Soit : $k(x)=(2x+1)^{2}-4+8x+12.$

 

En utilisant les identités remarquables on a : 

 

$\begin{array}{rcl}(2x+1)^{2}-4&=&(2x+1-2)(2x+1+2)\\\\&=&(2x-1)(2x+3)\end{array}$

 

Or, la factorisation par $4$ de $8x+12$ donne : $8x+12=4(2x+3).$

 

Par suite, $k(x)=(2x-1)(2x+3)+4(2x+3).$

 

On reconnait alors un facteur commun $(2x+3).$

 

Donc,

 

$\begin{array}{rcl} k(x)&=&(2x+1)^{2}-4+8x+12\\\\&=&(2x-1)(2x+3)+4(2x+3)\\\\&=&(2x+3)[(2x-1)+4]\\\\&=&(2x+3)(2x+3)\\\\&=&(2x+3)^{2}\end{array}$

 

Ainsi, l'expression finale nous renvoie à une identité remarquable.

 

D'où, $\boxed{k(x)=(2x+3)^{2}}$

 

Soit : $l(x)=3x^{2}+18x+27.$ 

 

En factorisant par $3$ on obtient :

 

$\begin{array}{rcl}l(x)&=&3x^{2}+18x+27\\\\&=&3(x^{2}+6x+9)\end{array}$

 

Or, $(x^{2}+6x+9)$ renvoie à une identité remarquable $(x+3)^{2}.$

 

Par conséquent,

 

$\begin{array}{rcl} l(x)&=&3x^{2}+18x+27\\\\&=&3(x^{2}+6x+9)\\\\&=&3(x+3)^{2}\end{array}$

 

D'où, $\boxed{l(x)=3(x+3)^{2}}$

 

Soit : $m(x)=9x^{2}-6x\sqrt{2}+2x(3x-\sqrt{2})+2.$

 

On remarque que $9x^{2}-6x\sqrt{2}+2=(3x-\sqrt{2})^{2}.$

 

Donc, en prenant $(3x-\sqrt{2})$ comme facteur commun on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} m(x)&=&9x^{2}-6x\sqrt{2}+2x(3x-\sqrt{2})+2\\\\&=&9x^{2}-6x\sqrt{2}+2+2x(3x-\sqrt{2})\\\\&=&(3x-\sqrt{2})^{2}+2x(3x-\sqrt{2})\\\\&=&(3x-\sqrt{2})[(3x-\sqrt{2})+2x]\\\\&=&(3x-\sqrt{2})(5x-\sqrt{2})\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{m(x)=(3x-\sqrt{2})(5x-\sqrt{2})}$

 

Soit : $n(x)=16(x-3)^{2}-49(2x+1)^{2}.$ 

 

En remarquant que $16(x-3)^{2}=[4(x-3)]^{2}$ et que $49(2x+1)^{2}=[7(2x+1)]^{2}$, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} n(x)&=&16(x-3)^{2}-49(2x+1)^{2}\\\\&=&[4(x-3)]^{2}-[7(2x+1)]^{2}\\\\&=&[4(x-3)-7(2x+1)][4(x-3)+7(2x+1)]\\\\&=&(4x-12-14x-7)(4x-12+14x+7)\\\\&=&(-10x-19)(18x-5)\\\\&=&-(10x+19)(18x-5)\end{array}$

 

Donc, $\boxed{n(x)=-(10x+19)(18x-5)}$

 

Soit : $p(x)=(4x-\sqrt{3})^{2}-2x(4x-\sqrt{3})+x^{2}.$

 

Il suffit de remarquer que l'expression de $p(x)$ est de la forme $a^{2}-2ab+b^{2}$ avec, $a=(4x-\sqrt{3})\ $ et $\ b=x.$

 

Or, d'après une propriété sur la forme factorisée des identités remarquables, on a :

$$a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$$

Donc, en appliquant cette propriété, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} p(x)&=&(4x-\sqrt{3})^{2}-2x(4x-\sqrt{3})+x^{2}\\\\&=&[(4x-\sqrt{3})-x]^{2}\\\\&=&(4x-\sqrt{3}-x)^{2}\\\\&=&(3x-\sqrt{3})^{2}\end{array}$

 

D'où, $\boxed{p(x)=(3x-\sqrt{3})^{2}}$