Corrigé Exercice 3 : Théorème de Thalès - 3e

 

$ABCD$ est un trapèze de bases $(AB)\ $ et $\ (DC)$ tel que :

 

$AB=3\;cm\;;\ BC=4\;cm\;;\ DC=5\;cm\ $ et $\ \widehat{BCD}=60^{\circ}$

 

La parallèle à $(BC)$  passant par $A$ coupe $(BD)$ en $I$ et $(DC)$ en $M.$

 

1) Faisons la figure.

2) Nature du quadrilatère $ABCM$

 

En effet, la parallèle à $(BC)$  passant par $A$ coupe $(DC)$ en $M.$

 

Donc, les droites $(AM)\ $ et $\ (BC)$ sont parallèles.

 

De plus, $ABCD$ est un trapèze dont les bases $(AB)\ $ et $\ (DC)$ sont parallèles.

 

Par suite, $ABCM$ est un quadrilatère dont les côtés sont parallèles deux à deux.

 

Par conséquent, $ABCM$ est un parallélogramme.

 

Déduisons $MC$

 

$ABCM$ étant un parallélogramme alors, $MC=AB\ $ or, $\ AB=3\;cm$

 

Donc, $\boxed{MC=3\;cm}$

 

Calculons $AI$

 

On a : $(IM)$ parallèle à $(BC)$ donc, les triangles $DIM\ $ et $\ DBC$ sont en position de Thalès.

 

Ainsi, d'après le théorème de Thalès, on aura : $$\dfrac{DM}{DC}=\dfrac{DI}{DB}=\dfrac{MI}{BC}$$

 

Par suite, 

 

$\begin{array}{rcl}\dfrac{MI}{BC}=\dfrac{DM}{DC}&\Rightarrow&\dfrac{MI}{BC}=\dfrac{DC-MC}{DC}\quad\text{car }\ DM=DC-MC\\ \\&\Rightarrow&\dfrac{MI}{4}=\dfrac{5-3}{5}\\ \\&\Rightarrow&5\times MI=2\times 4\\ \\&\Rightarrow&MI=\dfrac{8}{5}\\ \\&\Rightarrow&MI=1.6\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{MI=1.6\;cm}$ 

 

Par ailleurs, $AI=AM-MI$

 

Mais comme $ABCM$ est un parallélogramme alors, $AM=BC=4\;cm$

 

Par conséquent,

 

$\begin{array}{rcl} AI=BC-MI&=&4-1.6\\ \\&=&2.4\end{array}$

 

D'où, $\boxed{AI=2.4\;cm}$

 

3) Soit $P$ un point de $[BC]$ tel que $PC=2.4$

 

Montrons que les droites $(MN)\ $ et $\ (DB)$ sont parallèles.

 

Soit $C\;,\ P\;,\ B$ trois points alignés d'une part, et $C\;,\ M\;,\ D$ trois points alignés d'autre part, dans le même ordre.

 

On a : $\dfrac{CM}{CD}=\dfrac{3}{5}=0.6\quad\text{et}\quad\dfrac{CP}{CB}=\dfrac{2.4}{4}=0.6$

 

Ce qui montre que : $\dfrac{CM}{CD}=\dfrac{CP}{CB}$

 

D'où, les droites $(MP)\ $ et $\ (DB)$ sont parallèles, d'après la réciproque du théorème de Thalès.