Corrigé Exercice 30 : Racine carrée 3e
Exercice 30
En utilisant une propriété des identités remarquables, on a :
(1+√5)2=(1)2+2×1×√5+(√5)2=1+2√5+5=6+2√5
D'où, (1+√5)2=6+2√5
En utilisant une propriété des identités remarquables, on trouve :
(1−√5)2=(1)2−2×1×√5+(√5)2=1−2√5+5=6−2√5
Ainsi, (1−√5)2=6−2√5
2) On donne : X=√6−2√5 et Y=√6+2√5
a) Écrivons X et Y avec un seul radical.
Dans l'expression de X, en remplaçant 6−2√5 par (1−√5)2, on trouve :
X=√6−2√5=√(1−√5)2=|1−√5|
Cherchons alors le signe de (1−√5).
Pour cela, comparons 1 et √5.
Comme ces deux nombres sont positifs alors, comparons leur carré.
On a : (1)2=1 et (√5)2=5
Comme 1 est plus petit que 5 alors, 1<√5.
D'où, 1−√5<0
Ainsi, |1−√5|=−(1−√5)=−1+√5.
Par conséquent, X=−1+√5
Dans l'expression de Y, on remplace 6+2√5 par (1+√5)2.
On obtient alors :
Y=√6+2√5=√(1+√5)2=|1+√5|=1+√5
D'où, Y=1+√5
b) Calculons X+Y et X−Y.
En remplaçant X et Y par leur expression du résultat de 2)a), on obtient :
X+Y=(−1+√5)+(1+√5)=−1+√5+1+√5=2√5
Ainsi, X+Y=2√5
X−Y=(−1+√5)−(1+√5)=−1+√5−1−√5=−2
Donc, X−Y=−2
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