Corrigé Exercice 31 : Racine carrée 3e

 

On donne : $a=5-2\sqrt{6}\ $ et $\ b=5+2\sqrt{6}.$

1) Calculons $a\times b.$

En utilisant une propriété des identités remarquables, on a :

$\begin{array}{rcl} a\times b&=&(5-2\sqrt{6})(5+2\sqrt{6})\\\\&=&(5)^{2}-(2\sqrt{6})^{2}25-(4\times 6)\\\\&=&25-24\\\\&=&1\end{array}$

Alors, $\boxed{a\times b=1}$

Comme le produit de $a\ $ et $\ b$ est égal à $1$ alors, on peut en déduire que $a\ $ et $\ b$ sont des inverses.

2) Calculons $a^{2}\;;\ b^{2}\ $ et $\ \dfrac{a}{b}.$

En utilisant une propriété des identités remarquables, on trouve :

$\begin{array}{rcl} a^{2}&=&\left(5-2\sqrt{6}\right)^{2}\\\\&=&(5)^{2}-2\times 5\times 2\sqrt{6}+(2\sqrt{6})^{2}\\\\&=&25-20\sqrt{6}+(4\times 6)\\\\&=&25-20\sqrt{6}+24\\\\&=&49-20\sqrt{6}\end{array}$

Ainsi, $\boxed{a^{2}=49-20\sqrt{6}}$

En utilisant une propriété des identités remarquables, on a :

$\begin{array}{rcl} b^{2}&=&\left(5+2\sqrt{6}\right)^{2}\\\\&=&(5)^{2}+2\times 5\times 2\sqrt{6}+(2\sqrt{6})^{2}\\\\&=&25+20\sqrt{6}+(4\times 6)\\\\&=&25+20\sqrt{6}+24\\\\&=&49+20\sqrt{6}\end{array}$

D'où, $\boxed{b^{2}=49+20\sqrt{6}}$

Soit : $\dfrac{a}{b}=\dfrac{5-2\sqrt{6}}{5+2\sqrt{6}}$

Alors, en rendant rationnel le dénominateur puis en calculant, on trouve :

$\begin{array}{rcl}\dfrac{a}{b}&=&\dfrac{5-2\sqrt{6}}{5+2\sqrt{6}}\\\\&=&\dfrac{(5-2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6})}{(5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6})}\\\\&=&\dfrac{(5-2\sqrt{6})^{2}}{(5)^{2}-(2\sqrt{6})^{2}}\\\\&=&\dfrac{49-20\sqrt{6}}{25-(4\times 6)}\\\\&=&\dfrac{49-20\sqrt{6}}{25-24}\\\\&=&\dfrac{49-20\sqrt{6}}{1}\\\\&=&49-20\sqrt{6}\end{array}$

D'où, $\boxed{\dfrac{a}{b}=49-20\sqrt{6}}$

3) Vérifions que $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}$ est un entier naturel.

En réduisant au même dénominateur, on trouve :

$\begin{array}{rcl} \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}&=&\dfrac{a\times a}{a\times b}+\dfrac{b\times b}{a\times b}\\\\&=&\dfrac{a^{2}}{a\times b}+\dfrac{b^{2}}{a\times b}\\\\&=&\dfrac{a^{2}+b^{2}}{a\times b}\end{array}$

Donc, $\boxed{\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=\dfrac{a^{2}+b^{2}}{ab}}$

En remplaçant ensuite $a^{2}\;;\ a^{2}\ $ et $\ a\times b$ par leur valeur, on obtient :

$\begin{array}{rcl} \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}&=&\dfrac{a^{2}+b^{2}}{a\times b}\\\\&=&\dfrac{49-20\sqrt{6}+49+20\sqrt{6}}{1}\\\\&=&98\end{array}$

D'où, $\boxed{\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=98\quad\text{qui est un entier naturel}}$

Par conséquent, $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}$ est un entier naturel.

4) Soit $X=\sqrt{49-20\sqrt{6}}\ $ et $\ Y=\sqrt{49+20\sqrt{6}}$

Écrivons $X\ $ et $\ Y$ avec un seul radical.

D'après le résultat de la question $2)$, on a : $\left(5-2\sqrt{6}\right)^{2}=49-20\sqrt{6}$

Donc, dans l'expression de $X$, en remplaçant $49-20\sqrt{6}$ par $\left(5-2\sqrt{6}\right)^{2}$, on obtient :

$\begin{array}{rcl} X&=&\sqrt{49-20\sqrt{6}}\\\\&=&\sqrt{\left(5-2\sqrt{6}\right)^{2}}\\\\&=&\left|5-2\sqrt{6}\right|\end{array}$

Cherchons alors le signe de $(5-2\sqrt{6}).$

Pour cela, comparons $5\ $ et $\ 2\sqrt{6}.$

Comme ces deux nombres sont positifs alors, comparons leur carré.

On a : $(5)^{2}=25\ $ et $\ (2\sqrt{6})^{2}=24$

Comme $25$ est plus grand que $24$ alors, $5>2\sqrt{6}.$

D'où, $5-2\sqrt{6}>0$

Ainsi, $\left|5-2\sqrt{6}\right|=5-2\sqrt{6}.$

Par conséquent, $\boxed{X=5-2\sqrt{6}}$

De la même manière, on a : $\left(5+2\sqrt{6}\right)^{2}=49+20\sqrt{6}$

Donc, dans l'expression de $Y$, en remplace $49+20\sqrt{6}$ par $\left(5+2\sqrt{6}\right)^{2}.$

Ce qui donne alors :

$\begin{array}{rcl} Y&=&\sqrt{49+20\sqrt{6}}\\\\&=&\sqrt{\left(5+2\sqrt{6}\right)^{2}}\\\\&=&\left|5+2\sqrt{6}\right|\\\\&=&5+2\sqrt{6}\end{array}$

D'où, $\boxed{Y=5+2\sqrt{6}}$