Corrigé Exercice 37 : Racine carrée 3e

 

On donne : $A=\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}\ $ et $\ B=x^{2}-7x+10.$

1) Calculons $A$ puis, déduisons-en l'expression simplifiée du nombre : $C=\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{5}-\sqrt{8-2\sqrt{15}}\right).$

$-\ $ calcul de $A$

En développant, on obtient :

$\begin{array}{rcl} A&=&\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}\\\\&=&(\sqrt{5})^{2}-2\times\sqrt{5}\times\sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}\\\\&=&5-2\times\sqrt{5\times 3}+3\\\\&=&8-2\sqrt{15}\end{array}$

D'où, $\boxed{A=8-2\sqrt{15}}$

$-\ $ simplification de $C$

Dans l'expression de $C$, en remplaçant $8-2\sqrt{15}$ par $\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}$, on obtient :

$\begin{array}{rcl} C&=&\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{5}-\sqrt{8-2\sqrt{15}}\right)\\\\&=&\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{5}-\sqrt{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}}\right)\\\\&=&\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{5}-\left|\sqrt{5}-\sqrt{3}\right|\right)\end{array}$

Cherchons alors le signe de $(\sqrt{5}-\sqrt{3}$

Pour cela, comparons $\sqrt{5}\ $ et $\ \sqrt{3}.$

Comme ces deux nombres sont positifs alors, comparons leur carré.

On a : $(\sqrt{5})^{2}=5\ $ et $\ (\sqrt{3})^{2}=3$

Comme $5$ est plus grand que $3$ alors, $\sqrt{5}>\sqrt{3}.$

Donc, $\sqrt{5}-\sqrt{3}>0$

D'où, $\left|\sqrt{5}-\sqrt{3}\right|=\sqrt{5}-\sqrt{3}.$

Par conséquent,

$\begin{array}{rcl} C&=&\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{5}-\left|\sqrt{5}-\sqrt{3}\right|\right)\\\\&=&\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{5}-(\sqrt{5}-\sqrt{3})\right)\\\\&=&\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{5}-\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\\\\&=&\dfrac{1}{2}\times\sqrt{3}\end{array}$

Ainsi, $\boxed{C=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$

2) Calculons $B$ pour $x=\sqrt{2}.$

Pour cela, on remplace $x$ par $\sqrt{2}$, dans l'expression de $B(x).$

Alors, on a :

$\begin{array}{rcl} B(\sqrt{2})&=&(\sqrt{2})^{2}-7\times\sqrt{2}+10\\\\&=&2-7\sqrt{2}+10\\\\&=&12-7\sqrt{2}\end{array}$

D'où, $\boxed{B(\sqrt{2})=12-7\sqrt{2}}$

3) Donnons un encadrement du nombre $D=12-7\sqrt{2}$ sachant que $1.414<\sqrt{2}<1.415$ puis, déduisons-en la valeur approchée de $D$ à $10^{-2}$ près par défaut.

On sait que : $1.414<\sqrt{2}<1.415$

Alors, multiplions chaque membre de l'inégalité par le même nombre $-7$ en changeant le sens des inégalités.

On obtient :
$$-7\times 1.414>-7\sqrt{2}>-7\times 1.415$$
Ce qui donne : $-9.898>-7\sqrt{2}>-9.905$

En ajoutant $12$ à chaque membre de cette dernière l'inégalité, on obtient :
$$12-9.898>12-7\sqrt{2}>12-9.905$$
Donc, on a : $2.102>12-7\sqrt{2}>2.095$

Ce qui est équivalent à : $2.095<12-7\sqrt{2}<2.102$

D'où, un encadrement de $D$ à $10^{-2}$ près est donné par :
$$\boxed{2.09<D<2.10}$$
Par conséquent, la valeur approchée de $D$ à $10^{-2}$ près par défaut est égale à $2.09$