Corrigé Exercice 4 : Équations et inéquations du 1er degré à une inconnue 3e
Classe:
Troisième
Exercice 4
Résolvons dans R chacune des équations :
a) 5x(x−1)(x−√3)=0
Un produit de facteurs est nul si au moins un des facteurs est nul.
Donc, 5x(x−1)(x−√3)=0 si, et seulement si,
5x=0 ou (x−1)=0 ou (x−√3)=0
Alors on aura : x=0 ou x=1 ou x=√3
Ainsi, S={0; 1; √3}
b) 25x2−9=0
On est en présence d'une identité remarquable de la forme a2−b2
Alors, 25x2−9=(5x)2−32=(5x−3)(5x+3)
Donc, 25x2−9=0 si, et seulement si, (5x−3)(5x+3)=0
Comme c'est un produit de facteurs alors, on aura :
5x−3=0 ou 5x+3=0
Ce qui entraine : x=35 ou x=−35
Ainsi, S={−35; 35}
c) 4x2+1=0
L'équation est équivalente à (2x)2=−1 or, un carré n'est jamais négatif.
Donc, il n'existe pas de réels vérifiant 4x2+1=0
D'où, S=∅
d) (x+3)2−7=0
On a : (x+3)2−7=0 si, et seulement si, (x+3)2=7
Ce qui entraine alors, √(x+3)2=√7 or, √(x+3)2=|x+3|
Donc, (x+3)2−7=0 si, et seulement si, |x+3|=√7
Ainsi on aura : x+3=√7 ou x+3=−√7
Par suite : x=−3+√7 ou x=−3−√7
D'où, S={−3−√7; −3+√7}
e) x2−5+(x+√5)(−3x+5√5)=0
On remarque que x2−5=x2−(√5)2=(x−√5)(x+√5)
Ainsi, l'équation x2−5+(x+√5)(−3x+5√5)=0 devient (x−√5)(x+√5)+(x+√5)(−3x+5√5)=0
En prenant (x+√5) comme facteur commun, on aura : (x+√5)[(x−√5)+(−3x+5√5)]=0
Ce qui est équivalent à : (x+√5)(−2x+4√5)=0
Donc, (x+√5)=0 ou (−2x+4√5)=0
Par suite, x=−√5 ou −2x=−4√5
Ainsi, x=−√5 ou x=2√5
D'où, S={−√5; 2√5}
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