Corrigé Exercice 4 : Calcul algébrique 3e

 

Factorisons chacune de expressions suivantes :

 

Soit : $A(x)=(7x-1)(4x-2)-(1-7x)(3x-1).$

 

Alors, $A(x)$ peut encore s'écrire :

 

$$A(x)=(7x-1)(4x-2)+(7x-1)(3x-1)$$

 

Donc, en prenant $(7x-1)$ comme facteur commun, on obtient : 

 

$\begin{array}{rcl} A(x)&=&(7x-1)(4x-2)+(-1+7x)(3x-1)\\\\&=&(7x-1)[(4x-2)+(3x-1)]\\\\&=&(7x-1)(4x-2+3x-1)\\\\&=&(7x-1)(7x-3)\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{A(x)=(7x-1)(7x-3)}$

 

Soit : $B(x)=9x^{2}-1-(6x+2)(9x-1).$

 

On remarque que $9x^{2}-1=(3x-1)(3x+1).$

 

Par conséquent, on reconnait dans l'expression de $B(x)$ un facteur commun $(3x+1).$

 

Ainsi, 

 

$\begin{array}{rcl} B(x)&=&9x^{2}-1-(6x+2)(9x-1)\\\\&=&(3x-1)(3x+1)-2(3x+1)(9x-1)\\\\&=&(3x+1)[(3x-1)-2(9x-1)]\\\\&=&(3x+1)(3x-1-18x+2)\\\\&=&(3x+1)(-15x+1)\end{array}$

 

D'où, $\boxed{B(x)=(3x+1)(-15x+1)}$

 

Soit : $C(x)=4(4x+1)^{2}-9(3x+2)^{2}.$

 

En remarquant que $4(4x+1)^{2}=[2(4x+1)]^{2}$ et que $9(3x+2)^{2}=[3(3x+2)]^{2}$, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} C(x)&=&4(4x+1)^{2}-9(3x+2)^{2}\\\\&=&[2(4x+1)]^{2}-[3(3x+2)]^{2}\\\\&=&[2(4x+1)-3(3x+2)][2(4x+1)+3(3x+2)]\\\\&=&(8x+2-9x-6)(8x+2+9x+6)\\\\&=&(-x-4)(17x+8)\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{C(x)=-(x+4)(17x+8)}$

 

Soit : $D(x)=25x^{3}-9x$

 

Alors, on a : 

 

$\begin{array}{rcl} D(x)&=&25x^{3}-9x\\\\&=&x(25x^{2}-9)\\\\&=&x(5x-3)(5x+3)\end{array}$

 

Donc, $\boxed{D(x)=x(5x-3)(5x+3)}$

 

Soit : $E(x)=(9x^{2}-24x+16)+(-4x^{2}-4x-1)+(x+3)(10x-6)+(3-5x).$

 

Alors, on a : 

 

$(9x^{2}-24x+16)=(3x-4)^{2}$

 

$\begin{array}{rcl} (-4x^{2}-4x-1)&=&-(4x^{2}+4x+1)\\\\&=&-(2x+1)^{2}\end{array}$

 

$\begin{array}{rcl} (x+3)(10x-6)+(3-5x)&=&2(x+3)(5x-3)-(5x-3)\\\\&=&(5x-3)[2(x+3)-1]\\\\&=&(5x-3)(2x+6-1)\\\\&=&(5x-3)(2x+5)\end{array}$

 

Donc, $E(x)$ peut encore s'écrire :

$$E(x)=(3x-4)^{2}-(2x+1)^{2}+(5x-3)(2x+5)$$

Par suite, 

 

$\begin{array}{rcl} E(x)&=&(3x-4)^{2}-(2x+1)^{2}+(5x-3)(2x+5)\\\\&=&[(3x-4)-(2x+1)][(3x-4)+(2x+1)]+(5x-3)(2x+5)\\\\&=&(3x-4-2x-1)(3x-4+2x+1)+(5x-3)(2x+5)\\\\&=&(x-5)(5x-3)+(5x-3)(2x+5)\\\\&=&(5x-3)[(x-5)+(2x+5)]\\\\&=&(5x-3)(x-5+2x+5)\\\\&=&(5x-3)(3x)\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{E(x)=3x(5x-3)}$