Corrigé Exercice 4 : Racine carrée 3e
Classe:
Troisième
Exercice 4
On donne les nombres réels suivants tels que :
X=√4+√7−√4−√7etY=√3−2√2−√3+2√2
1) Déterminons les signes respectifs de X et Y.
Pour déterminer le signe de X on compare les nombres √4+√7 et √4−√7.
On a : √4+√7>0 et √4−√7>0
Soit alors : (√4+√7)2=4+√7 et (√4−√7)2=4−√7
Or, 4+√7>4−√7
Donc, le nombre √4+√7 est supérieur au nombre √4−√7.
D'où, X est positif
De même, pour déterminer le signe de Y on compare les nombres √3−2√2 et √3+2√2.
On a : √3−2√2>0 et √3+2√2>0
Alors : (√3−2√2)2=3−2√2 et (√3+2√2)2=3+2√2
Or, 3−2√2<3+2√2
Donc, le nombre √3−2√2 est inférieur au nombre √3+2√2.
D'où, Y est négatif
2) Calculons X2 et Y2.
On a : X=√4+√7−√4−√7
Donc,
X2=(√4+√7−√4−√7)2=(√4+√7)2−2×(√4+√7)×(√4−√7)+(√4−√7)2=(4+√7)−2×√(4+√7)(4−√7)+(4−√7)=(4+√7)+(4−√7)−2×√(4)2−(√7)2=8−2×√16−7=8−2×√9=8−2×3=8−6=2
D'où, X2=2
De même, on a : Y=√3−2√2−√3+2√2
Donc,
Y2=(√3−2√2−√3+2√2)2=(√3−2√2)2−2×(√3−2√2)×(√3+2√2)+(√3+2√2)2=(3−2√2)−2×√(3−2√2)(3+2√2)+(3+2√2)=(3−2√2)+(3+2√2)−2×√(3)2−(2√2)2=6−2×√9−8=6−2×√1=6−2=4
D'où, Y2=4
3) En déduisons X et Y.
On a : X2=2
Alors, √X2=√2 or, on sait que √X2=|X|
Donc, |X|=√2
Mais comme X est positif alors, |X|=X
D'où, X=√2
De même, on a : Y2=4
Alors, √Y2=√4=2 or, on sait que √Y2=|Y|
Donc, |Y|=2
Y étant négatif alors, |Y|=−Y
Donc, −Y=2
D'où, Y=−2
Ajouter un commentaire