Corrigé Exercice 4 : Racine carrée 3e

Classe: 
Troisième
 

Exercice 4

On donne les nombres réels suivants tels que :
X=4+747etY=3223+22
1) Déterminons les signes respectifs de X  et  Y.
 
Pour déterminer le signe de X on compare les nombres 4+7  et  47.
 
On a : 4+7>0  et  47>0
 
Soit alors : (4+7)2=4+7  et  (47)2=47
 
Or, 4+7>47
 
Donc, le nombre 4+7 est supérieur au nombre 47.
 
D'où, X est positif
 
De même, pour déterminer le signe de Y on compare les nombres 322  et  3+22.
 
On a : 322>0  et  3+22>0
 
Alors : (322)2=322  et  (3+22)2=3+22
 
Or, 322<3+22
 
Donc, le nombre 322 est inférieur au nombre 3+22.
 
D'où, Y est négatif
 
2) Calculons X2  et  Y2.
 
On a : X=4+747
 
Donc,
 
X2=(4+747)2=(4+7)22×(4+7)×(47)+(47)2=(4+7)2×(4+7)(47)+(47)=(4+7)+(47)2×(4)2(7)2=82×167=82×9=82×3=86=2
 
D'où, X2=2
 
De même, on a : Y=3223+22
 
Donc,
 
Y2=(3223+22)2=(322)22×(322)×(3+22)+(3+22)2=(322)2×(322)(3+22)+(3+22)=(322)+(3+22)2×(3)2(22)2=62×98=62×1=62=4
 
D'où, Y2=4
 
3) En déduisons X  et  Y.
 
On a : X2=2
 
Alors, X2=2  or, on sait que X2=|X|
 
Donc, |X|=2
 
Mais comme X est positif alors, |X|=X
 
D'où, X=2
 
De même, on a : Y2=4
 
Alors, Y2=4=2  or, on sait que Y2=|Y|
 
Donc, |Y|=2
 
Y étant négatif alors, |Y|=Y
 
Donc, Y=2
 
D'où, Y=2

 

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