Corrigé Exercice 4 : Racine carrée 3e

 

On donne les nombres réels suivants tels que :

$$X=\sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{4-\sqrt{7}}\quad\text{et}\quad Y=\sqrt{3-2\sqrt{2}}-\sqrt{3+2\sqrt{2}}$$

1) Déterminons les signes respectifs de $X\ $ et $\ Y.$

 

Pour déterminer le signe de $X$ on compare les nombres $\sqrt{4+\sqrt{7}}\ $ et $\ \sqrt{4-\sqrt{7}}.$

 

On a : $\sqrt{4+\sqrt{7}}>0\ $ et $\ \sqrt{4-\sqrt{7}}>0$

 

Soit alors : $(\sqrt{4+\sqrt{7}})^{2}=4+\sqrt{7}\ $ et $\ (\sqrt{4-\sqrt{7}})^{2}=4-\sqrt{7}$

 

Or, $4+\sqrt{7}>4-\sqrt{7}$

 

Donc, le nombre $\sqrt{4+\sqrt{7}}$ est supérieur au nombre $\sqrt{4-\sqrt{7}}.$

 

D'où, $X$ est positif

 

De même, pour déterminer le signe de $Y$ on compare les nombres $\sqrt{3-2\sqrt{2}}\ $ et $\ \sqrt{3+2\sqrt{2}}.$

 

On a : $\sqrt{3-2\sqrt{2}}>0\ $ et $\ \sqrt{3+2\sqrt{2}}>0$

 

Alors : $(\sqrt{3-2\sqrt{2}})^{2}=3-2\sqrt{2}\ $ et $\ (\sqrt{3+2\sqrt{2}})^{2}=3+2\sqrt{2}$

 

Or, $3-2\sqrt{2}<3+2\sqrt{2}$

 

Donc, le nombre $\sqrt{3-2\sqrt{2}}$ est inférieur au nombre $\sqrt{3+2\sqrt{2}}.$

 

D'où, $Y$ est négatif

 

2) Calculons $X^{2}\ $ et $\ Y^{2}.$

 

On a : $X=\sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{4-\sqrt{7}}$

 

Donc,

 

$\begin{array}{rcl} X^{2}&=&\left(\sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{4-\sqrt{7}}\right)^{2}\\ \\&=&\left(\sqrt{4+\sqrt{7}}\right)^{2}-2\times\left(\sqrt{4+\sqrt{7}}\right)\times\left(\sqrt{4-\sqrt{7}}\right)+\left(\sqrt{4-\sqrt{7}}\right)^{2}\\ \\&=&(4+\sqrt{7})-2\times\sqrt{(4+\sqrt{7})(4-\sqrt{7})}+(4-\sqrt{7})\\ \\&=&(4+\sqrt{7})+(4-\sqrt{7})-2\times\sqrt{(4)^{2}-(\sqrt{7})^{2}} \\ \\&=&8-2\times\sqrt{16-7} \\ \\&=&8-2\times\sqrt{9} \\ \\&=&8-2\times 3\\\\&=&8-6\\ \\&=&2\end{array}$

 

D'où, $\boxed{X^{2}=2}$

 

De même, on a : $Y=\sqrt{3-2\sqrt{2}}-\sqrt{3+2\sqrt{2}}$

 

Donc,

 

$\begin{array}{rcl} Y^{2}&=&\left(\sqrt{3-2\sqrt{2}}-\sqrt{3+2\sqrt{2}}\right)^{2}\\ \\&=&\left(\sqrt{3-2\sqrt{2}}\right)^{2}-2\times\left(\sqrt{3-2\sqrt{2}}\right)\times\left(\sqrt{3+2\sqrt{2}}\right)+\left(\sqrt{3+2\sqrt{2}}\right)^{2}\\ \\&=&(3-2\sqrt{2})-2\times\sqrt{(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})}+(3+2\sqrt{2})\\ \\&=&(3-2\sqrt{2})+(3+2\sqrt{2})-2\times\sqrt{(3)^{2}-(2\sqrt{2})^{2}} \\ \\&=&6-2\times\sqrt{9-8} \\ \\&=&6-2\times\sqrt{1} \\ \\&=&6-2\\ \\&=&4\end{array}$

 

D'où, $\boxed{Y^{2}=4}$

 

3) En déduisons $X\ $ et $\ Y.$

 

On a : $X^{2}=2$

 

Alors, $\sqrt{X^{2}}=\sqrt{2}\ $ or, on sait que $\sqrt{X^{2}}=|X|$

 

Donc, $|X|=\sqrt{2}$

 

Mais comme $X$ est positif alors, $|X|=X$

 

D'où, $\boxed{X=\sqrt{2}}$

 

De même, on a : $Y^{2}=4$

 

Alors, $\sqrt{Y^{2}}=\sqrt{4}=2\ $ or, on sait que $\sqrt{Y^{2}}=|Y|$

 

Donc, $|Y|=2$

 

$Y$ étant négatif alors, $|Y|=-Y$

 

Donc, $-Y=2$

 

D'où, $\boxed{Y=-2}$