Corrigé Exercice 5 : Équations et inéquations du 1er degré à une inconnue 3e

 

Résolvons dans $\mathbb{R}$ chacune des équations suivantes : 

 

a) $\dfrac{6x-1}{x}=\dfrac{1}{3}$

 

Appliquant la propriété suivante : $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$ avec $(b\;,\ d\neq 0)$ si, et seulement si, $a.d=b.c$

 

Donc on aura : $\dfrac{6x-1}{x}=\dfrac{1}{3}$ avec $(x\neq 0)$ si, et seulement si, $$(6x-1)\times 3=x\times 1$$

 

Ainsi, $18x-3=x$ ; c'est-à-dire $17x=3$

 

entrainant alors,  $x=\dfrac{3}{17}$

 

D'où, $$S=\left\{\dfrac{3}{17}\right\}$$

b) $\dfrac{2x-5}{3x-2}=-\dfrac{3}{7}$

 

Pour la résolution de cette équation, nous allons utiliser une autre méthode.

 

On a : $\dfrac{2x-5}{3x-2}=-\dfrac{3}{7}$ si, et seulement si, $$\dfrac{2x-5}{3x-2}+\dfrac{3}{7}=0$$

En réduisant au même dénominateur, on obtient : 

 

$\begin{array}{rcl}\dfrac{2x-5}{3x-2}+\dfrac{3}{7}&=&\dfrac{(2x-5)\times 7}{(3x-2)\times 7}+\dfrac{3\times(3x-2)}{7\times(3x-2)}\\ \\ &=&\dfrac{(2x-5)\times 7+3\times(3x-2)}{(3x-2)\times 7}\\ \\&=&\dfrac{14x-35+9x-6}{7(3x-2)}\\ \\&=&\dfrac{23x-41}{7(3x-2)}\end{array}$

 

Ainsi, l'équation $\dfrac{2x-5}{3x-2}+\dfrac{3}{7}=0$ est équivalente à : $$\dfrac{23x-41}{7(3x-2)}=0$$

Or, on sait que $\dfrac{N}{D}=0$ si, et seulement si, $N=0$

 

Donc, $\dfrac{23x-41}{7(3x-2)}=0$ si, et seulement si, $23x-41=0$

 

C'est-à-dire ; $23x=41$

 

D'où, $x=\dfrac{41}{23}$

 

Ainsi, $$S=\left\{\dfrac{41}{23}\right\}$$