Corrigé Exercice 5 : Théorème de Thalès - 3e

 

Considérons un rectangle $ABCD$ tel que $AB=4\;cm\;,\ BC=3\;cm.$

 

$M$ est un point de $[AB]$ tel que $AM=2.5\;cm\ $ et soit $\ (AC)$ et $\ (DM)$ deux droites qui se coupent en $I.$

 

Soit $K$ un point de $[CD]$ tel que $DK=1.6\;cm\ $ et $\ H$ un point de $[DA]$ tel que $AH=1.8\;cm$

1) Calculons $AC$

 

Comme $ABCD$ est un rectangle alors, le triangle $ABC$ est rectangle en $B.$

 

Donc, pour calculer $AC$ on applique le théorème de Pythagore : $$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}$$

 

Alors, on a :

 

$\begin{array}{rcl} AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}&\Rightarrow&AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}\\\\&\Rightarrow&AC=\sqrt{16+9}\\\\&\Rightarrow&AC=\sqrt{25}\\\\&\Rightarrow&AC=5\end{array}$

 

D'où, $\boxed{AC=5\;cm}$

 

Calculons $AI$

 

$ABCD$ étant un rectangle donc, $AB=DC$ et les droites $(AB)\ $ et $\ (DC)$ sont parallèles.

 

Comme $(AB)\ $ et $\ (AM)$ sont confondues, cela revient donc à dire que les droites $(AM)\ $ et $\ (DC)$ sont parallèles.

 

Par suite, les droites $(AC)\ $ et $\ (DM)$ sécantes en $I$ étant coupées par deux droites parallèles $(AM)\ $ et $\ (DC)$ alors, en appliquant le théorème de Thalès, on obtient : $$\dfrac{IM}{ID}=\dfrac{AI}{IC}=\dfrac{AM}{DC}$$

 

Ainsi,

 

$\begin{array}{rcl}\dfrac{AI}{IC}=\dfrac{AM}{DC}&\Rightarrow&\dfrac{AI}{IC}=\dfrac{2.5}{4}\\ \\&\Rightarrow&4\times AI=2.5\times IC\quad\text{or, }\ IC=AC-AI\\ \\&\Rightarrow&4\times AI=2.5(AC-AI)\quad\text{or, }\ AC=5\;cm\\ \\&\Rightarrow&4\times AI=2.5\times(5-AI)\\ \\&\Rightarrow&4\times AI+2.5\times AI=12.5\\ \\&\Rightarrow&6.5\times AI=12.5\\ \\&\Rightarrow&AI=\dfrac{12.5}{6.5}\\ \\&\Rightarrow&AI=1.9\end{array}$

 

Donc, $\boxed{AI=1.9\;cm}$

 

2) Démontrons que les droites $(HK)\ $ et $\ (AC)$ sont parallèles.

 

Considérons $D\;,\ H\;,\ A$ trois points alignés d'une part, et $D\;,\ K\;,\ C$ trois points alignés d'autre part, dans le même ordre.

 

Calculons les rapports $\dfrac{DH}{DA}\quad\text{et}\quad\dfrac{DK}{DC}$

 

On a :

 

$\begin{array}{rcl}\dfrac{DH}{DA}&=&\dfrac{DA-AH}{DA}\quad\text{car, }\ DH=DA-AH\\ \\&=&\dfrac{3-1.8}{3}\\ \\&=&\dfrac{1.2}{3}\\ \\&=&0.4\end{array}$

 

D'où, $\dfrac{DH}{DA}=0.4$

 

Aussi, $\dfrac{DK}{DC}=\dfrac{1.6}{4}=0.4$

 

On constate alors : $\dfrac{DH}{DA}=\dfrac{DK}{DC}$

 

Par conséquent, la réciproque du théorème de Thalès permet de conclure que les droites $(HK)\ $ et $\ (AC)$ sont parallèles.