Corrigé Exercice 6 : Ensemble $\mathbb{Q}$ des nombres rationnels 4e

 

Un ordinateur est vendu $12\,600\text{ F}.$ Un tiers de son prix est versé à la commende, un cinquième à la livraison, le reste en dix mensualités identiques.

 

1) Déterminons la fraction du prix de l'ordinateur représentée par le montant d'une mensualité.

 

On appelle $P$ le prix de l'ordinateur, $S_{_{C}}$ la somme versée à la commande, $S_{_{L}}$ la somme versée à la livraison et $S_{_{R}}$ la somme restante, versée en dix mensualités identiques.

 

On a alors :

$$S_{_{R}}=P-(S_{_{C}}+S_{_{L}})$$

Or, on sait que : un tiers du prix est versé à la commande et un cinquième à la livraison. Donc,

$$S_{_{C}}=\dfrac{1}{3}P\quad\text{et}\quad S_{_{L}}=\dfrac{1}{5}P$$

Par suite,

 

$\begin{array}{rcl} S_{_{R}}&=&P-(S_{_{C}}+S_{_{L}})\\ \\&=&p-\left(\dfrac{1}{3}P+\dfrac{1}{5}P\right)\\ \\&=&p-\left(\dfrac{1\times P\times 5}{3\times 5}+\dfrac{1\times P\times 3}{5\times 3}\right)\\ \\&=&p-\dfrac{5P+3P}{15}\\ \\&=&\dfrac{15P}{15}-\dfrac{8P}{15}\\ \\&=&\dfrac{15P-8P}{15}\\ \\&=&\dfrac{7P}{15}\end{array}$

 

D'où, $\boxed{S_{_{R}}=\dfrac{7}{15}P}$

 

Ainsi, le montant restant représente $\dfrac{7}{15}$ du prix de l'ordinateur.

 

Comme le montant d'une mensualité $S_{_{M}}$ est le dixième de la somme restante, soit :

$$S_{_{M}}=\dfrac{S_{_{R}}}{10}$$

alors,

 

$\begin{array}{rcl} S_{_{M}}&=&\dfrac{S_{_{R}}}{10}\\ \\&=&\dfrac{\dfrac{7}{15}P}{10}\\ \\&=&\dfrac{7}{15}P\times\dfrac{1}{10}\\ \\&=&\dfrac{7}{150}P\end{array}$

 

Par conséquent, le montant d'une mensualité représente $\dfrac{7}{150}$ du prix de l'ordinateur. 

 

2) Calculons le montant d'une mensualité.

 

D'après la question 1), le montant $S_{_{M}}$ d'une mensualité est égal à $\dfrac{7}{150}$ du prix de l'ordinateur.

 

Or, l'ordinateur est vendu à $12600\text{ F}$, donc, $S_{_{M}}=\dfrac{7}{150}\times 12600$

 

Soit : $588\text{ F}$

 

Ainsi, le montant de chaque mensualité est de $588\text{ F}.$