Corrigé Exercice 7 : Calcul algébrique 3e

 

On pose : $f(x)=4x^{2}-12x–7\ $ et $\ g(x)=4x^{2}-1+(2x+1)(2-3x)$

 

1) Factorisons $g(x).$

 

On a :

 

$\begin{array}{rcl} g(x)&=&4x^{2}-1+(2x+1)(2-3x)\\\\&=&(2x-1)(2x+1)+(2x+1)(2-3x)\\\\&=&(2x+1)[(2x-1)+(2-3x)]\\\\&=&(2x+1)(2x-1+2-3x)\\\\&=&(2x+1)(-x+1)\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{g(x)=(2x+1)(-x+1)}$

 

2) Soit $a$ un nombre réel tel que $f(x)=(2x-3)^{2}-a.$

 

Montrons que $a=16$ et factorisons $f(x).$

 

En développant cette expression de $f(x)$, on trouve :

 

$\begin{array}{rcl} f(x)&=&(2x-3)^{2}-a\\\\&=&(2x)^{2}-2\times 3\times 2x+3^{2}-a\\\\&=&4x^{2}-12x+9-a\end{array}$

 

Donc, $f(x)=4x^{2}-12x+9-a$

 

Or, d'après la question $1)$, on a : $f(x)=4x^{2}-12x-7$

 

Donc, par identification, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} 4x^{2}-12x+9-a=4x^{2}-12x-7&\Leftrightarrow&-a=4x^{2}-12x-7-4x^{2}+12x-9\\\\&\Leftrightarrow&-a=4x^{2}-4x^{2}-12x+12x-7-9\\\\&\Leftrightarrow&-a=-16\\\\&\Leftrightarrow&a=16\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{a=16}$

 

Dans l'expression de $f(x)$, en remplaçant $a$ par sa valeur $16$, on obtient :

$$f(x)=(2x-3)^{2}-16$$

Par suite, une factorisation de $f(x)$ est donnée par :

 

$\begin{array}{rcl} f(x)&=&(2x-3)^{2}-16\\\\&=&[(2x-3)-4][(2x-3)+4]\\\\&=&(2x-3-4)(2x-3+4)\\\\&=&(2x-7)(2x+1)\end{array}$

 

D'où, $\boxed{f(x)=(2x-7)(2x+1)}$

 

3) Soit $q(x)=\dfrac{(2x+7)(2x-1)}{(x-1)(1-2x)}$

 

a) Trouvons la condition d'existence de $q(x).$

 

$q(x)$ existe si, et seulement si, le dénominateur est différent de $0.$

 

Cela signifie :

 

$\begin{array}{rcl} q(x)\text{ existe}&\Leftrightarrow&(x-1)(1-2x)\neq 0\\\\&\Leftrightarrow&(x-1)\neq 0\ \text{ et }\ (1-2x)\neq 0\\\\&\Leftrightarrow&x\neq 1\ \text{ et }\ -2x\neq -1\\\\&\Leftrightarrow&x\neq 1\ \text{ et }\ x\neq\dfrac{-1}{-2}\\\\&\Leftrightarrow&x\neq 1\ \text{ et }\ x\neq\dfrac{1}{2}\end{array}$

 

Donc, $x$ doit être différent de $1\ $ et $\ \dfrac{1}{2}$ pour que $q(x)$ existe.

 

b) Simplifions $q(x).$

 

Pour tout $x$ différent de $1\ $ et $\ \dfrac{1}{2}$, on a :

 

$\begin{array}{rcl} q(x)&=&\dfrac{(2x+7)(2x-1)}{(x-1)(1-2x)}\\\\&=&\dfrac{-(2x+7)(-2x+1)}{(x-1)(1-2x)}\\\\&=&\dfrac{-(2x+7)(1-2x)}{(x-1)(1-2x)}\\\\&=&\dfrac{-(2x+7)}{(x-1)}\end{array}$

 

D'où, $\boxed{q(x)=-\dfrac{2x+7}{x-1}}$

 

c) Calculons $q(\sqrt{3})$ sans radical au dénominateur. 

 

Pour cela, on remplace $x$ par $\sqrt{3}$, dans l'expression simplifiée de $q(x).$

 

Ce qui donne :

 

$\begin{array}{rcl} q(\sqrt{3})&=&-\dfrac{2\sqrt{3}+7}{\sqrt{3}-1}\\\\&=&-\dfrac{(2\sqrt{3}+7)(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}\\\\&=&-\dfrac{2\sqrt{3}\times\sqrt{3}+2\sqrt{3}+7\sqrt{3}+7}{(\sqrt{3})^{2}-(1)^{2}}\\\\&=&-\dfrac{2\times 3+9\sqrt{3}+7}{3-1}\\\\&=&-\dfrac{6+9\sqrt{3}+7}{2}\\\\&=&-\dfrac{13+9\sqrt{3}}{2}\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{q(\sqrt{3})=-\dfrac{13+9\sqrt{3}}{2}}$

 

d) Encadrons $q(\sqrt{3})$ d'amplitude $0.1$ près sachant que $1.732<\sqrt{3}<1.733$

 

Soit : $1.732<\sqrt{3}<1.733$ alors, en multipliant chaque membre de cette inégalité par le même nombre $9$, on obtient :

 

$$1.732\times 9<9\sqrt{3}<1.733\times 9$$

 

Ce qui donne : $15.588<9\sqrt{3}<15.597$

 

Ajoutons alors $13$ à chaque membre de l'inégalité.

 

On trouve :

$$15.588+13<13+9\sqrt{3}<15.597+13$$

C'est-à-dire ; $28.588<13+9\sqrt{3}<28.597$

 

En divisant chaque membre de l'inégalité par le même nombre $2$, on obtient :

$$\dfrac{28.588}{2}<\dfrac{13+9\sqrt{3}}{2}<\dfrac{28.597}{2}$$

Ce qui donne : $14.294<\dfrac{13+9\sqrt{3}}{2}<14.298$

 

Enfin, on multiplie par $-1$ chaque membre de l'inégalité en changeant le sens de chaque inégalité.

 

On obtient : $-14.298<-\dfrac{13+9\sqrt{3}}{2}<-14.294$

 

D'où, un encadrement de $q(\sqrt{3})$ d'amplitude $0.1$ près est donné par :

$$\boxed{-14.3<q(\sqrt{3})<-14.2}$$