Corrigé Exercice 8 : Équations et inéquations du 1er degré à une inconnue 3e
Classe:
Troisième
Exercice 8
Répondons par vrai ou faux en justifiant la réponse
1) L'équation $x^{2}-7=0$ admet deux solutions dans $\mathbb{R}.\quad(\text{Vrai})$
En effet, l'équation $x^{2}-7=0$ peut encore s'écrire : $x^{2}=7.$
Or, $x^{2}=7$ si, et seulement si, $\sqrt{x^{2}}=\sqrt{7}$
C'est-à-dire ; $|x|=\sqrt{7}$
Ce qui donne alors : $x=\sqrt{7}\ $ ou $\ x=-\sqrt{7}$
Ainsi, $x^{2}-7=0$ si, et seulement si, $x=\sqrt{7}\ $ ou $\ x=-\sqrt{7}.$
Par conséquent, l'équation $x^{2}-7=0$ admet deux solutions dans $\mathbb{R}$
$$\left\lbrace-\sqrt{7}\;;\ \sqrt{7}\right\rbrace$$
2) L'inéquation $(x-1)(3-x)\leq 0$ a pour solution $S=[1\;;\ 3]\quad(\text{Faux})$
En effet, soit : $2\in[1\;;\ 3].$
Alors, dans l'expression $(x-1)(3-x)$, en remplaçant $x$ par $2$, on obtient :
$$(2-1)(3-2)=1\times 1=1$$
Or, $1>0$
Donc, $(2-1)(3-2)>0$ ; ce qui signifie que $2$ ne vérifie pas l'inéquation $(x-1)(3-x)\leq 0.$
Par conséquent, l'intervalle $[1\;;\ 3]$ n'est pas solution de l'inéquation $(x-1)(3-x)\leq 0.$
3) L'équation $x^{2}=9$ a pour solution $S=\{3\}\quad(\text{Faux})$
En effet, l'équation $x^{2}=9$ admet deux solutions dans $\mathbb{R}\ :\ -3\ $ et $\ 3$
Par conséquent,
$$S=\left\lbrace -3\;;\ 3\right\rbrace$$
4) L'équation $x^{2}+7=0$ admet deux solutions dans $\mathbb{R}.\quad(\text{Faux})$
En effet, on a : $x^{2}+7=0$ si, et seulement si, $x^{2}=-7.$
Or, un carré n'est jamais négatif.
Par conséquent, il n'existe pas de nombre réel $x$ vérifiant $x^{2}=-7.$
D'où, l'équation $x^{2}+7=0$ n'admet pas de solutions dans $\mathbb{R}$
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