Corrigé Exercice 8 : Calcul algébrique 3e

 

On donne : $$E=\dfrac{a^{2}}{a+1}\ \text{ et }\ F=\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{2}{a^{2}-1}$$ 

 

1) Donnons les valeurs de $a$ pour lesquelles les expressions $E\ $ et $\ F$ n'ont pas de sens.

 

En effet, l'expression de $E$ n'a pas de sens si, le dénominateur est nul.

 

Ce qui signifie : $a+1=0$

 

C'est-à-dire ; $a=-1$

 

Donc, si $a=-1$ alors, l'expression de $E$ n'a pas de sens.

 

Soit : $F=\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{2}{a^{2}-1}$ alors, en réduisant au même dénominateur, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} F&=&\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{2}{a^{2}-1}\\\\&=&\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{2}{(a+1)(a-1)}\\\\&=&\dfrac{1(a-1)}{(a+1)(a-1)}+\dfrac{2}{(a+1)(a-1)}\\\\&=&\dfrac{a-1+2}{(a+1)(a-1)}\\\\&=&\dfrac{a+1}{(a+1)(a-1)}\end{array}$

 

Donc, $\boxed{F=\dfrac{a+1}{(a+1)(a-1)}}$

 

L'expression de $F$ n'a pas de sens si, le dénominateur est nul.

 

Ce qui signifie : $(a+1)(a-1)=0$

 

Or, on a : 

 

$\begin{array}{rcl} (a+1)(a-1)=0&\Leftrightarrow&a+1=0\ \text{ ou }\ a-1=0\\\\&\Leftrightarrow&a=-1\ \text{ ou }\ a=1\end{array}$

 

Donc, si $a=-1\ $ ou $\ 1$ alors, l'expression de $F$ n'a pas de sens.

 

2) Retrouver les expressions simplifiées de $E\ $ et $\ F.$

 

Lorsque $a$ est différent de $-1$ alors, l'expression simplifiée de $E$ est donnée par :

$$E=\dfrac{a^{2}}{a+1}$$

Soit : $F=\dfrac{a+1}{(a+1)(a-1)}.$

 

Alors, lorsque $a$ est différent de $-1\ $ et $\ 1$, l'expression simplifiée de $F$ est donnée par :

$$F=\dfrac{1}{a-1}$$