Corrigé Exercice 8 : Racine carrée 3e

 

1) Rendons rationnel le dénominateur des nombres suivants :
$$\dfrac{5-2\sqrt{3}}{3\sqrt{3}-5}\;,\quad\dfrac{3\sqrt{5}-3}{2\sqrt{3}}\;,\quad\dfrac{2}{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}$$
Soit le nombre $\dfrac{5-2\sqrt{3}}{3\sqrt{3}-5}$

Alors, l'expression conjuguée du dénominateur est égale à $3\sqrt{3}+5.$

Donc, pour rendre rationnel le nombre $\dfrac{5-2\sqrt{3}}{3\sqrt{3}-5}$, on multiplie son numérateur et son dénominateur par le même nombre $3\sqrt{3}+5.$

Ainsi, on a :

$\begin{array}{rcl}\dfrac{5-2\sqrt{3}}{3\sqrt{3}-5}&=&\dfrac{(5-2\sqrt{3})(3\sqrt{3}+5)}{(3\sqrt{3}-5)(3\sqrt{3}+5)}\\\\&=&\dfrac{15\sqrt{3}+25-(2\sqrt{3})\times(3\sqrt{3})-10\sqrt{3}}{(3\sqrt{3})^{2}-(5)^{2}}\\\\&=&\dfrac{15\sqrt{3}+25-18-10\sqrt{3}}{27-25}\\\\&=&\dfrac{5\sqrt{3}+7}{2}\end{array}$

D'où, $\boxed{\dfrac{5-2\sqrt{3}}{3\sqrt{3}-5}=\dfrac{5\sqrt{3}+7}{2}}$

Soit le nombre $\dfrac{3\sqrt{5}-3}{2\sqrt{3}}$

Alors, pour rendre rationnel ce nombre, on multiplie son numérateur et son dénominateur par le même nombre $\sqrt{3}.$

Donc, on a :

$\begin{array}{rcl}\dfrac{3\sqrt{5}-3}{2\sqrt{3}}&=&\dfrac{(3\sqrt{5}-3)\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\times\sqrt{3}}\\\\&=&\dfrac{3\sqrt{5}\times\sqrt{3}-3\sqrt{3}}{2\times 3}\\\\&=&\dfrac{3\sqrt{5\times 3}-3\sqrt{3}}{6}\\\\&=&\dfrac{3\sqrt{15}-3\sqrt{3}}{6}\\\\&=&\dfrac{3(\sqrt{15}-\sqrt{3})}{6}\\\\&=&\dfrac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{2}\end{array}$

Ainsi, $\boxed{\dfrac{3\sqrt{5}-3}{2\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{2}}$

Soit le nombre $\dfrac{2}{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}$

Alors, l'expression conjuguée du dénominateur est égale à $3\sqrt{2}+2\sqrt{3}.$

Donc, pour rendre rationnel le nombre $\dfrac{2}{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}$, on multiplie son numérateur et son dénominateur par le même nombre $3\sqrt{2}+2\sqrt{3}.$

On obtient alors :

$\begin{array}{rcl}\dfrac{2}{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}&=&\dfrac{2(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})}{(3\sqrt{2}-2\sqrt{3})(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})}\\\\&=&\dfrac{2(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})}{(3\sqrt{2})^{2}-(2\sqrt{3})^{2}}\\\\&=&\dfrac{2(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})}{18-12}\\\\&=&\dfrac{2(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})}{6}\\\\&=&\dfrac{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{3}\end{array}$

D'où, $\boxed{\dfrac{2}{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}=\dfrac{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{3}}$

2) Mettons les expressions suivantes sous la forme :
$$a+b\sqrt{c}\quad\text{ avec }a\in\mathbb{Q}\;,\  b\in\mathbb{Q}\text{  et }c\in\mathbb{N}$$
Soit $A=\dfrac{2}{1-\sqrt{3}}+\dfrac{1}{1+\sqrt{3}}$

Alors, en réduisant au même dénominateur, on obtient :

$\begin{array}{rcl} A&=&\dfrac{2}{1-\sqrt{3}}+\dfrac{1}{1+\sqrt{3}}\\\\&=&\dfrac{2(1+\sqrt{3})+1(1-\sqrt{3})}{(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})}\\\\&=&\dfrac{2+2\sqrt{3}+1-\sqrt{3}}{(1)^{2}-(\sqrt{3})^{2}}\\\\&=&\dfrac{3+\sqrt{3}}{1-3}\\\\&=&\dfrac{3+\sqrt{3}}{-2}\\\\&=&-\dfrac{3+\sqrt{3}}{2}\end{array}$

D'où, $\boxed{A=-\dfrac{3+\sqrt{3}}{2}}$

Soit $B=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$

Alors, en réduisant au même dénominateur, on obtient :

$\begin{array}{rcl} B&=&\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\\\\&=&\dfrac{\sqrt{3}(\sqrt{3}+\sqrt{2})+\sqrt{2}(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}\\\\&=&\dfrac{\sqrt{3}\times\sqrt{3}+\sqrt{3}\times\sqrt{2}+\sqrt{2}\times\sqrt{3}-\sqrt{2}\times\sqrt{2}}{(\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{2})^{2}}\\\\&=&\dfrac{3+\sqrt{3\times 2}+\sqrt{2\times 3}-2}{3-2}\\\\&=&\dfrac{3+\sqrt{6}+\sqrt{6}-2}{1}\\\\&=&1+2\sqrt{6}\end{array}$

Ainsi, $\boxed{B=1+2\sqrt{6}}$

3) Donnons une écriture simplifiée de :

$\begin{array}{rcl} C&=&3\sqrt{\dfrac{1}{75}}\times 2\sqrt{\dfrac{3}{4}}\\\\&=&3\dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{75}} \times 2\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}\\\\&=&3\dfrac{1}{\sqrt{25\times 3}}\times 2\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\\\&=&\dfrac{3}{\sqrt{25}\times\sqrt{3}}\times\sqrt{3}\\\\&=&\dfrac{3}{5}\end{array}$

Donc, $\boxed{C=\dfrac{3}{5}}$

$\begin{array}{rcl} D&=&\sqrt{\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}}+4\\\\&=&\left|\dfrac{3}{2}\right|+4\\\\&=&\dfrac{3}{2}+4\\\\&=&\dfrac{3+8}{2}\\\\&=&\dfrac{11}{2}\end{array}$

Alors, $\boxed{D=\dfrac{11}{2}}$

$\begin{array}{rcl} E&=&(1-\sqrt{2})(5\sqrt{2}+3)+(1-\sqrt{2})^{2}\\\\&=&(1-\sqrt{2})[(5\sqrt{2}+3)+(1-\sqrt{2})]\\\\&=&(1-\sqrt{2})(5\sqrt{2}+3+1-\sqrt{2})\\\\&=&(1-\sqrt{2})(4+4\sqrt{2})\\\\&=&(1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})\times 4\\\\&=&((1)^{2}-(\sqrt{2})^{2})\times 4\\\\&=&(1-2)\times 4\\\\&=&(-1)\times 4\\\\&=&-4\end{array}$

Donc, $\boxed{E=-4}$

$\begin{array}{rcl} F&=&\sqrt{\dfrac{1.6\times 2.5}{0.36}}\\\\&=&\sqrt{\dfrac{\dfrac{16}{10}\times\dfrac{25}{10}}{\dfrac{36}{100}}}\\\\&=&\sqrt{\dfrac{\dfrac{16\times 25}{100}}{\dfrac{36}{100}}}\\\\&=&\sqrt{\dfrac{16\times 25}{100}\times\dfrac{100}{36}}\\\\&=&\sqrt{\dfrac{16\times 25}{36}}\\\\&=&\dfrac{\sqrt{16\times 25}}{\sqrt{36}}\\\\&=&\dfrac{\sqrt{16}\times\sqrt{25}}{6}\\\\&=&\dfrac{4\times 5}{6}\\\\&=&\dfrac{20}{6}\\\\&=&\dfrac{10}{3}\end{array}$

Ainsi, $\boxed{F=\dfrac{10}{3}}$

4) Écrivons sans le grand radical.

Soit $F=\sqrt{(1-\sqrt{5})^{2}}=\left|1-\sqrt{5}\right|$

Alors, cherchons le signe de $(1-\sqrt{5}).$

Pour cela, comparons $1\ $ et $\ \sqrt{5}.$

On a : $1>0\ $ et $\ \sqrt{5}>0$

Alors, $1^{2}=1\ $ et $\ (\sqrt{5})^{2}=5$

Or, $5>1$ donc, $\sqrt{5}>1$

D'où, $(1-\sqrt{5})<0$

Par conséquent,

$\begin{array}{rcl} \left|1-\sqrt{5}\right|&=&-(1-\sqrt{5})\\\\&=&-1+\sqrt{5}\end{array}$

Ainsi, $\boxed{F=\sqrt{5}-1}$

Soit $G=\sqrt{(-5-\sqrt{3})^{2}}=|-5-\sqrt{3}|$

Or, on sait que $(-5-\sqrt{3})$ est négatif.

Donc,

$\begin{array}{rcl}\left|(-5-\sqrt{3})\right|&=&-(-5-\sqrt{3})\\\\&=&(5+\sqrt{3})\end{array}$

D'où, $\boxed{G=5+\sqrt{3}}$

Soit $H=\sqrt{(5-2\sqrt{3})^{2}}=\left|5-2\sqrt{3}\right|$

Cherchons alors le signe de $(5-2\sqrt{3})$

Pour cela, comparons $5\ $ et $\ 2\sqrt{3}.$

On a : $5>0\ $ et $\ 2\sqrt{3}>0$

Alors, $5^{2}=25\ $ et $\ (2\sqrt{3})^{2}=12$

Comme, $25$ est plus grand que $12$ alors, $5>2\sqrt{3}$

D'où, $(5-2\sqrt{3})>0$

Par conséquent, $\left|5-2\sqrt{3}\right|=5-2\sqrt{3}$

Ainsi, $\boxed{H=5-2\sqrt{3}}$

Soit : $I=\sqrt{(-2\sqrt{3}+4)^{2}}=\left|-2\sqrt{3}+4\right|$

Alors, cherchons le signe de $(4-2\sqrt{3})$

Pour cela, comparons $4\ $ et $\ 2\sqrt{3}.$

On a : $4>0\ $ et $\ 2\sqrt{3}>0$

Alors, $4^{2}=16\ $ et $\ (2\sqrt{3})^{2}=12$

Or, $16$ est plus grand que $12$ donc, $4>2\sqrt{3}$

D'où, $(4-2\sqrt{3})>0$

Par conséquent, $\left|-2\sqrt{3}+4\right|=-2\sqrt{3}+4$

Ainsi, $\boxed{I=4-2\sqrt{3}}$

Soit $J=\sqrt{\left(\dfrac{3}{2}-2\sqrt{2}\right)^{2}}=\left|\dfrac{3}{2}-2\sqrt{2}\right|$

Cherchons alors le signe de $\left(\dfrac{3}{2}-2\sqrt{2}\right)$

Pour cela, comparons $\dfrac{3}{2}\ $ et $\ 2\sqrt{2}.$

On a : $\dfrac{3}{2}>0\ $ et $\ 2\sqrt{2}>0$

Alors, $\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}=\dfrac{9}{4}\ $ et $\ (2\sqrt{2})^{2}=8$

Or, on sait que $\dfrac{9}{4}$ est plus petit que $8$ donc, $\dfrac{3}{2}<2\sqrt{2}$

D'où, $\left(\dfrac{3}{2}-2\sqrt{2}\right)<0$

Par conséquent,

$\begin{array}{rcl}\left|\dfrac{3}{2}-2\sqrt{2}\right|&=&-\left(\dfrac{3}{2}-2\sqrt{2}\right)\\\\&=&\left(-\dfrac{3}{2}+2\sqrt{2}\right)\end{array}$

Ainsi, $\boxed{J=2\sqrt{2}-\dfrac{3}{2}}$