Corrigé Exercice 8 : Théorème de Thalès - 3e

 

On donne trois points du plan $E\;,\ G\ $ et $\ H$ alignés dans cet ordre sur une droite $(d)$ tels que $EG=1\,cm\ $ et $\ EH=x.$

 

$x$ est un réel positif.

 

Sur une droite $(D)$ passant par $E$ et distincte de $(d)$, on prend deux points $M$ et $N$ tels que $(GM)\parallel(HN)$ et un point $F$ sur $(d)$ tel que $(FM)\parallel(GN).$

 

1) Faisons la figure

Démontrons que $EG^{2}=EF\times EH.$

 

En effet, les droites $(GM)\ $ et $\ (HN)$ étant parallèles alors, les triangles $EGM\ $ et $\ EHN$ sont en position de Thalès.

 

Donc, en appliquant le théorème de Thalès, on a :

$$\dfrac{EG}{EH}=\dfrac{EM}{EN}\quad(1)$$

De la même manière, les droites $(FM)\ $ et $\ (GN)$ étant parallèles alors, les triangles $EFM\ $ et $\ EGN$ sont en position de Thalès.

 

Ainsi, d'après le théorème de Thalès, on a :

$$\dfrac{EF}{EG}=\dfrac{EM}{EN}\quad(2)$$

En comparant les égalités $(1)\ $ et $\ (2)$, on peut alors écrire :

$$\dfrac{EG}{EH}=\dfrac{EF}{EG}$$

Par suite,

 

$\begin{array}{rcl}\dfrac{EG}{EH}=\dfrac{EF}{EG}&\Leftrightarrow&EG\times EG=EF\times EH\\\\&\Leftrightarrow&EG^{2}=EF\times EH\end{array}$

 

D'où, $\boxed{EG^{2}=EF\times EH}$

 

2) Calculons $EF$ en fonction de $x.$

 

D'après le résultat de la question $1)$, on a : $EG^{2}=EF\times EH.$

 

Ce qui donne :

$$EF=\dfrac{EG^{2}}{EH}$$

Alors, en remplaçant $EG\ $ et $\ EH$ par leur valeur, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl}EF&=&\dfrac{EG^{2}}{EH}\\\\&=&\dfrac{1^{2}}{x}\\\\&=&\dfrac{1}{x}\end{array}$

 

D'où, $\boxed{EF=\dfrac{1}{x}}$