Corrigé Exercice 9 : Ensemble $\mathbb{Q}$ des nombres rationnels 4e

 

Déterminons le signe de chacun des nombres suivants :

 

$\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{4}\;;\qquad\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{5}\;;\qquad\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-5}\;;\qquad 4^{-8}\;;\qquad -\dfrac{1}{4^{7}}$

 

On rappelle que d'après les propriétés sur les puissances, on a :

 

$-\ $ si $a$ est un nombre rationnel positif et $n$ un entier naturel alors :

 

$\ \ \centerdot\ a^{n}$ est positif.

 

$\ \ \centerdot\ a^{-n}$ est positif.

 

$-\ $ si $a$ est un nombre rationnel négatif et $n$ un entier naturel alors :

 

$\ \ \centerdot\ a^{n}$ est positif si $n$ est un nombre pair ; c'est-à-dire multiple de $2$

 

$\ \ \centerdot\ a^{n}$ est négatif si $n$ est un nombre impair ; c'est-à-dire n'est pas multiple de $2$

 

Ainsi, en appliquant ces propriétés, on obtient :

 

$-\dfrac{1}{3}$ est un nombre rationnel négatif et $4$ est un nombre entier naturel paire.

 

Par conséquent, $\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{4}$ est positif.

 

$-\dfrac{1}{2}$ est un nombre rationnel négatif et $5$ est un nombre entier naturel impaire.

 

Donc, $\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{5}$ est négatif.

 

On a : $\dfrac{1}{2}$ est un nombre rationnel positif et $5$ est un entier naturel.

 

Alors, $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-5}$ est positif.

 

On a : $4$ est un nombre positif et $8$ un entier naturel.

 

Par conséquent, $4^{-8}$ est un nombre positif.

 

On a : $\dfrac{1}{4^{7}}=\left(\dfrac{1}{4}\right)^{7}$ est un nombre positif.

 

Par conséquent, son opposé $-\dfrac{1}{4^{7}}$ est négatif.