Corrigé Exercice 9 : Théorème de Thalès - 3e

 

Construisons un triangle $RTS$ tel que : 

$$RT=4\;cm\;;\ RS=7\;cm\;;\ ST= 5\;cm$$

1) Le triangle $RTS$ n'est pas rectangle.

 

Justifions :

 

Pour cela, on va vérifier si le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des autres côtés. 

 

On a :

 

$RS^{2}=7^{2}=49$

 

$RT^{2}=4^{2}=16$

 

$ST^{2}=5^{2}=25$

 

Alors, $RT^{2}+ST^{2}=16+25=41$

 

Or, $41\neq 49$

 

Ce qui signifie que $RS^{2}$ n'est pas égale à $RT^{2}+ST^{2}.$

 

Par conséquent, le théorème de Pythagore n'est pas vérifié.

 

D'où, le triangle $RTS$ n'est pas rectangle.

 

2) Marquons un point $M$ sur $[RS]$ tel que $RM=5\;cm$ puis traçons la droite passant par $M$ et parallèle à la droite $(ST)$, elle coupe $(RT)$ en $N.$

 

Calculons $MN\ $ et $\ NT.$

 

$-\ $ Calcul de $MN$

 

En effet, comme les droites $(MN)\ $ et $\ (ST)$ sont parallèles alors, les triangles $RMN\ $ et $\ RTS$ sont en position de Thalès.

 

Donc, en appliquant le théorème de Thalès, on a :

$$\dfrac{MN}{ST}=\dfrac{RM}{RS}$$

Alors, en remplaçant $ST\;,\ RM\ $ et $\ RS$ par leur valeur, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl}\dfrac{MN}{5}=\dfrac{5}{7}&\Rightarrow&7\times MN=5\times 5\\\\&\Rightarrow&MN=\dfrac{25}{7}\end{array}$

 

D'où, $\boxed{MN=\dfrac{25}{7}}$

 

$-\ $ Calcul de $NT$

 

En effet, les droites $(MN)\ $ et $\ (ST)$ sont parallèles alors, les triangles $RMN\ $ et $\ RTS$ sont en position de Thalès.

 

Donc, en d'après le théorème de Thalès, on a :

$$\dfrac{NT}{RT}=\dfrac{MS}{RS}$$

Or, $MS=RS-RM=7-5=2\,cm$

 

Ainsi, en remplaçant $RT\;,\ MS\ $ et $\ RS$ par leur valeur, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl}\dfrac{NT}{4}=\dfrac{2}{7}&\Rightarrow&7\times NT=4\times 2\\\\&\Rightarrow&NT=\dfrac{8}{7}\end{array}$

 

D'où, $\boxed{NT=\dfrac{8}{7}}$

 

3) On donne $MN=k\times TS\ $ et $\ Aire(RTS)=m\times Aire(RMN).$

 

Déterminons la valeur de $k$ puis la valeur de $m.$

 

$-\ $ valeur de $k$

 

On a : $MN=k\times TS$

 

Ce qui donne : $k=\dfrac{MN}{TS}$

 

En calculant, on trouve :

 

$\begin{array}{rcl} k&=&\dfrac{MN}{TS}\\\\&=&\dfrac{\dfrac{25}{7}}{5}\\\\&=&\dfrac{25}{7}\times\dfrac{1}{5}\\\\&=&\dfrac{5}{7}\end{array}$

 

D'où, $\boxed{k=\dfrac{5}{7}}$

 

Ainsi, $MN=\dfrac{5}{7}\times TS$

 

$-\ $ valeur de $m$

 

En effet, comme les triangles $RMN\ $ et $\ RTS$ sont en position de Thalès alors, $k$ est le coefficient de réduction.

 

Par suite, $k^{2}$ sera le coefficient de réduction des aires.

 

Ce qui signifie : $Aire(RMN)=k^{2}\times Aire(RTS)$

 

Ce qui donne alors, $Aire(RTS)=\dfrac{Aire(RMN)}{k^{2}}$

 

En calculant, on trouve :

 

$\begin{array}{rcl} Aire(RTS)&=&\dfrac{Aire(RMN)}{k^{2}}\\\\&=&\dfrac{Aire(RMN)}{\left(\dfrac{5}{7}\right)^{2}}\\\\&=&\dfrac{Aire(RMN)}{\dfrac{25}{49}}\\\\&=&\dfrac{49}{25}\times Aire(RMN)\end{array}$

 

Ainsi, $Aire(RTS)=\dfrac{49}{25}\times Aire(RMN)$

 

D'où, $\boxed{m=\dfrac{49}{25}}$