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Dérivabilité - 1er L

Classe:

Première

I. Dérivabilité d'une fonction en un nombre réel

1. Définition

On dit qu'une fonction

$f$ est dérivable en un réel

$a$

$\left(a\in\mathcal{D}_{f}\right)$ si

$\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ est un nombre réel

$l.$

Le nombre réel

$l$ est appelé nombre dérivé de

$f$ en

$a$ et est noté

$f'(a).$

2. Exemple

$f(x)=2x+1$ ; Montrons que

$f$ est dérivable en

$l$ et précisons le nombre dérivé de

$f$ en

$l.$

$\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;1}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=2$ donc

$f$ est dérivable en

$l$ et le nombre dérivé de

$f$ en

$l$ est

$f'(l)=2.$

3. Exercice d'application

Soit

$f(x)=-x+2.$

Montrer que

$f$ est dérivable en

$2$ et préciser le nombre dérivé de

$f$ en

$2.$

4. Tangente à la courbe d'une fonction en un point

a. Définition

Soit

$f$ est une fonction dérivable en

$a.$

La droite d'équation

$y=f'(a)(x-a)+f(a)$ est dite tangente à la courbe de

$f$ au point d'abscisse

$a.$

b. Exemple

Soit

$f$ telle que

$f(x)=x^{2}.$

On montre que

$f$ est dérivable en

$l$ et le nombre dérivé de

$f$ en

$l$ est

$f'(l)=2.$

Ainsi la tangente à la courbe de

$f$ au point d'abscisse

$l$ est la droite d'équation

$y=f'(l)(x-l)+f(l)=2x-1.$

II. Fonction dérivée d'une fonction donnée

Soit

$f$ une fonction dérivable en tout nombre réel

$a$ d'un intervalle

$I.$

A partir de la fonction, on peut définir une nouvelle fonction notée

$f$ appelée fonction dérivée de

$f.$

L'expression de la fonction

$f'$ est donc

$f'(x).$

1. Fonction dérivée des fonctions usuelles

Les propriétés suivantes permettent de calculer les expressions des fonctions dérivées des fonctions usuelles.

a. Propriété

$f(x)=c$ où

$c$ est un réel constant alors la fonction dérivée de

$f$ est définie par

$f'(x)=0.$

Exemples

$\bullet\$ Pour

$f(x)=8$ , on a

$f'(x)=0$

$\bullet\$ Pour

$f(x)=-5$ , on a

$f'(x)=0$

b. Propriété

$f(x)=x$ alors

$f'(x)=1.$

c. Propriété

$f(x)=ax+b$ où

$a$ et

$b$ sont des réels constants alors

$f'(x)=a$

Exemples

$\surd\$ Soit

$f(x)=2x$ , ici

$a=2$ et

$b=0$ donc

$f'(x)=2.$

$\surd\$ Soit

$f(x)=-x+3$ ,

$a=-1$ et

$b=3$ donc

$f'(x)=-1.$

d. Propriété

$f(x)=x^{n}$ où

$n$ est un entier naturel non nul alors

$f'(x)=nx^{n-1}.$

Exemples

$\surd\$ Soit

$f(x)=x^{2}$ ;

$f(x)=x^{n}$ avec

$n=2$ donc

$f'(x)=2x.$

$\surd\$ Soit

$f(x)=x^{3}$ ;

$f(x)=x^{n}$ avec

$n=3$ donc

$f'(x)=3x^{2}$

e. Propriété

$f(x)=\dfrac{1}{x}$ alors

$f'(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}$

Tableau récapitulatif

Le tableau suivant permet de résumer les résultats ci-dessus

$\begin{array}{|l|l|} \hline f(x)&f'(x)\\ \hline f(x)=c\ ;\ c\in\mathbb{R}&f'(x)=0\\ \hline f(x)=c\ ;\ c\in\mathbb{R}&f'(x)=0\\ \hline f(x)=x&f'(x)=1\\ \hline f(x)=ax+b&f'(x)=a\\ \hline f(x)=x^{n}\ ;\ n\in\mathbb{N}\setminus{0}&f'(x)=nx^{n-1}\\ \hline f(x)=\dfrac{1}{x}&f'(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}\\ \hline \end{array}$

2. Opérations sur les dérivées

a. Dérivée d'une somme

$\surd\$ Soient

$u$ et

$v$ deux fonctions.

La dérivée de la somme

$u(x)+v(x)$ est :

$[u(x)+v(x)]^{\prime}=u'(x)+v'(x)$

Exemple

Pour

$f(x)=x^{4}+x^{2}$ on a

$f'(x)=4x^{3}+2x$

$\surd\$ Soient

$u$ et

$v$ deux fonctions.

La dérivée de la différence

$u(x)-v(x)$ est :

$[u(x)-v(x)]^{\prime}=u'(x)-v'(x)$

Exemple

Pour

$f(x)=2x-x^{3}$ on a

$f'(x)=2-3x^{2}$

b. Dérivée d'un produit

$\surd\$ Soit

$u$ une fonction et

$\alpha$ un nombre réel constant non nul.

La dérivée du produit

$\alpha\,u(x)$ est :

$[\alpha\cdot u(x)]^{\prime}=\alpha\cdot u^{\prime}(x)$

Exemple

$f(x)=4x^{3}$ , on a :

$f'(x)=4\left(3x^{2}\right)=12x^{2}$

$\surd\$ Soient

$u$ et

$v$ deux fonctions.

La dérivée du produit

$u(x)\times v(x)$ est :

$[u(x)\times v(x)]^{\prime}=u'(x)\times v(x)+v'(x)\times u(x)$

Exemple

Pour

$f(x)=(3x+1)\left(x^{3}+x\right).$

On a

$f'(x)=3\left(x^{3}+x\right)+\left(3x^{2}+1\right)(3x+1).$

$\surd\$ Soit

$u$ une fonction et

$n$ un entier naturel supérieur à

$l.$

La dérivée de

$[u(x)]^{n}$ est :

$\left[u(x)^{n}\right]^{\prime}=n\times u'(x)\times [u(x)]^{n-1}$

Exemple

Pour

$f(x)=(-2x+5)^{3}$ , on a

$f'(x)=3(-2)(-2x+5)^{2}=-6(-2x+5)^{2}$

c. Dérivée d'un quotient

$\surd\$ Soit

$u$ une fonction.

La dérivée du quotient

$\dfrac{1}{u(x)}$ est :

$\left[\dfrac{1}{u(x)}\right]^{\prime}=-\dfrac{u'(x)}{[u(x)]^{2}}$

Exemple

Pour

$f(x)=(-2x+5)^{3}$ , on a

$f'(x)=3(-2)(-2x+5)^{2}=-6(-2x+5)^{2}$

c. Dérivée d'un quotient

$\surd\$ Soit

$u$ une fonction.

La dérivée du quotient

$\dfrac{1}{u(x)}$ est :

$\left[\dfrac{1}{u(x)}\right]^{\prime}=-\dfrac{u'(x)}{[u(x)]^{2}}$

Exemple

Pour

$f(x)=\dfrac{1}{2x+1}$ on a

$f'(x)=-\dfrac{2}{(2x+1)^{2}}$

$\surd\$ Soient

$u$ et

$v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle

$I$ tel que

$v$ ne s'annule pas sur

$I.$

La dérivée du quotient

$\dfrac{u(x)}{v(x)}$ est :

$\left[\dfrac{u(x)}{v(x)}\right]^{\prime}=\dfrac{u'(x)\times v(x)-v'(x)\times u(x)}{[v(x)]^{2}}$

Exemple

Pour

$f(x)=\dfrac{2x-1}{3x+1}$ , on a

$f'(x)=\dfrac{2(3x+1)-3(2x-1)}{(3x+1)^{2}}=\dfrac{5}{(3x+1)^{2}}$

Le tableau ci-dessous permet de résumer les différents résultats ci-dessus

$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{Fonctions définies par}&\text{Dérivées}\\ \hline u(x)+v(x)&u'(x)+v'(x)\\ \hline u(x)-v(x)&u'(x)-v'(x)\\ \hline a\times u(x)&a\times u'(x)\\ \hline u(x)\times v(x)&u'(x)\times v(x)+v'(x)\times u(x)\\ \hline \dfrac{1}{u(x)}&-\dfrac{u'(x)}{[u(x)]^{2}}\\ \hline \dfrac{u(x)}{v(x)}&\dfrac{u'(x)\times v(x)-v'(x)\times u(x)}{[u(x)]^{2}}\\ \hline u(x)^{n}&nu'(x)[u(x)]^{n-1}\\ \hline \end{array}$

III. Sens de variation d'une fonction

1. Théorème

Soit

$f$ est une fonction dérivable en tout nombre réel

$a$ d'un intervalle

$I.$

$\bullet\$ Si pour tout

$x\in\;I$ ,

$f'(x)\geq 0$ alors on dit que

$f$ est croissante sur

$I.$

$\bullet\$ Si pour tout

$x\in\;I$ ,

$f'(x)\leq 0$ alors on dit que

$f$ est décroissante sur

$I.$

$\bullet\$ Si pour tout

$x\in\;I$ ,

$f'(x)=0$ alors on dit que

$f$ est constante sur

$I.$

2. Définition

Étudier le sens de variation d'une fonction

$f$ sur un intervalle

$I$ , c'est étudier si

$f$ est croissante ou décroissante sur

$I.$

Ainsi pour étudier le sens de variation (ou les variations) d'une fonction sur un intervalle

$I$ alors on calcule

$f'(x)$ puis on étudie son signe sur

$I.$

3. Exemple

$f(x)=x^{2}-6x+5.$

Étudions le sens de variation de

$f$ sur les intervalles de

$\mathcal{D}_{f}.$

Dressons le tableau qui permet de visualiser les variations de

$f$ , ce tableau sera appelé tableau de variations de

$f.$

$f(x)=x^{3}-3x.$

Étudions les variations de

$f$ sur

$\mathcal{D}_{f}$ puis dressons son tableau de variations.

4. Extrémums d'une fonction

$f'(x)$ s'annule en

$a$ et change de signe alors

$f$ admet un extrémum en

$a$ et dans ce cas, l'extrémum est le point de coordonnée

$\left(a\;,\ f(a)\right).$

De plus si le signe de

$f'(x)$ passe de

$+$ en

$-$ alors l'extrémum est dit maximum et si c'est de

$-$ en

$+$ alors il est dit minimum.

Par exemple

$f$ définie ci-dessus admet un extrémum en

$3$ et cet extrémum est un minimum de

$f.$

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Formulaire de recherche

I. Dérivabilité d'une fonction en un nombre réel

1. Définition

2. Exemple

3. Exercice d'application

4. Tangente à la courbe d'une fonction en un point

a. Définition

b. Exemple

II. Fonction dérivée d'une fonction donnée

1. Fonction dérivée des fonctions usuelles

a. Propriété

Exemples

b. Propriété

c. Propriété

Exemples

d. Propriété

Exemples

e. Propriété

2. Opérations sur les dérivées

a. Dérivée d'une somme

Exemple

Exemple

b. Dérivée d'un produit

Exemple

Exemple

Exemple

c. Dérivée d'un quotient

Exemple

Exemple

Exemple

III. Sens de variation d'une fonction

1. Théorème

2. Définition

3. Exemple

4. Extrémums d'une fonction

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