Devoir maths n°2 - 2nd

 

 

Exercice 1 

 

1. Soit $a$ un réel donné, montrer que : $(a-1)(1+a+a^{2}+a^{3}+a^{4})=a^{5}-1$

 

2. Déduire de 1. que : $1+a+a^{2}+a^{3}+a^{4}=\dfrac{a^{5}-1}{a-1}$

 

3. Calculer la somme : $s=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}$

 

Exercice 2

 

$x$ est un nombre réel strictement positif on donne $a=x+\dfrac{1}{x}$

 

1. Calculer $a^{2}$ et en déduire que $x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}=a^{2}-2$

 

2. On pose $Y=\sqrt{7+4\sqrt{3}}-\sqrt{7-4\sqrt{3}}+2$

 

a. Montrer que $Y^{2}-4Y-8=0$

 

b. Soit $x$ un nombre réel strictement positif tel que

 

$X=\sqrt{7+4\sqrt{3}}-\sqrt{7-4\sqrt{3}}$ Calculer $X^{2}.$

 

En déduire une écriture simplifiée de $X$ puis de $Y$

 

Exercice 3

 

$ABCD$ est un parallélogramme ; $I$ et $J$ sont les milieux respectifs des côtés $[AB]$ et $[CD]$

 

1.a. Montrer que $\overrightarrow{DI}=\overrightarrow{JB}$

 

b. En déduire la nature du quadrilatère $DIBJ.$

 

2.a. Construire les points $M$ et $N$ tels que $\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AN}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}.$

 

b. Exprimer $\overrightarrow{IM}$ et $\overrightarrow{ID}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$

 

c. En déduire que les points $I$, $M$, $D$ sont alignés

 

d. Montrer de même que les points $J$, $N$, $B$ sont alignés

 

3. Soit $ABC$, un triangle de centre de gravité $G$, $H$ le milieu de $[BC].$

 

Démontrer que pour tout point $M$ du plan :

 

$\bullet \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$

 

$\bullet 2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{HA}$