Devoir n° 1 - Ts1
Classe:
Terminale
Exercice 1
1. Soit a et b deux réels vérifiant 0≤a<b.
Démontrer les relations :
a<√ab<b(i) et a<2aba+b<a+b2<b(ii)
2. Soit (an) et (bn) deux suites définies pour n≥1 par :
{b1=2√3eta1=3bn+1=2anbnan+bnetan+1=√anbn+1
En utilisant le 1.a, démontrer par récurrence que :
Pour tout n≥1,0≤an<bn.
3. En déduire le sens de variation des suites (an) et (bn)
4. Montrer que les suites (an) et (bn) sont convergentes
5. Démontrer que , pour n≥1 :
bn+1−an+1≤12(bn−an)
(on pourra utiliser (i) et (ii))
6. En déduire que, pour n≥1, bn−an≤12n et que les suites (an) et (bn)
convergent vers la même limite.
Exercice 2
Pour tout entier naturel ≥2, on considère la fonction polynômiale pn définie pour tout x∈R+ par :
pn(x)=−1+n∑k=1xk
1.a. Étudier le sens de variation de pn sur R+ et préciser pn(0) et pn(1).
b. En déduire que, pour n≥2, p2 admet une racine unique an dans ]0 ; 1[.
Donner la valeur exacte de a2
2.a. Démontrer que pour tout entier n≥2 on a :
Pn+1(an)<0
b. En déduire le sens de variation de la suite (an) est-elle convergente ?
3.a. Démontrer que pour x≠1, on a :
Pn+1(x)=xx+1−2x+1x−1
En déduire que pour tout n≥2, on a :
an+1n−2an+1=0
b) Justifier, que pour n≥2, que an≤a2<1 et 0<2an−1≤an+12
c. En déduire limn⟶+∞an
Problème
Partie A
Soit f la fonction définie sur R par :
f(x)=x−1√x2−2x+2
2. Montrer que f réalise une bijection de R vers un intervalle J à préciser
2) Montrer que f réalise une bijection de R vers un intervalle J à préciser
3. Tracer la courbe (C de f dans le plan muni d'un repère orthonormé (O,→i,→j)
Unité graphique :2cm
4. Montrer que la bijection réciproque f1 de f est dérivable sur ]−1 ; 1[ et on a :
∀x∈]−1 ; 1] : f−1(x)=1+x√1−x2[
Indication : t2−2t+2=(t−1)2+1
5. Tracer la courbe (C′)) de f−1 dans le même repère
Partie B
Soit g la fonction définie sur [−π2 ; π2] par :
g(x)=sinx+f−1(sinx)−tanx
1. Montrer que g ∀x∈]−π2 ; π2[ : g(x)=1+sinx
2. Montrer que g réalise une bijection de ]−π2 ; π2[ vers ]0 ; 2[
3. Montrer que : ∀x∈]0 ; 2[ : (g−1)′(x)=1√2x−x2
Parie C
Soit φ la fonction définie sur ]0 ; 2[ par : φ(x)=g−1(x)+g−1(2−x)
1. Montrer que φ est dérivable sur ]0 ; 2[ puis calculer φ′(x)
2. Montrer que ∀x∈]0 ; 2[ ;
g−1(x)+g−1(2−x)=0
Interpréter géométriquement le résultat.
3. Soit (Un)n≥1 la suite définie par :
Un=n∑k=1[g−1(1k)+g−1(2k+1k+1)]
a. Montrer que la suite (un)n≥1 est parfaitement définie
b. Vérifier que :
φ(2k+1k+1)=g−1(2k+1k+1)+g−1(1k+1)
c. En déduire que :
Un=−g−1(1n+1)
d. Calculer la limite de la suite (Un)n≥1
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