Devoir n° 1 - Ts1

Classe: 
Terminale

Exercice 1

1. Soit $a$ et $b$ deux réels vérifiant $0\leq a<b.$
 
Démontrer les relations :
 
$a<\sqrt{ab}<b(i)$ et $a<\dfrac{2ab}{a+b}<\dfrac{a+b}{2}<b(ii)$
 
2. Soit $\left(a_{n}\right)$ et $\left(b_{n}\right)$ deux suites définies pour $n\geq 1$ par :
 
$\left\lbrace\begin{array} {lcl} b_{1}=2\sqrt{3}&\text{et}&a_{1}=3\\ b_{n+1}=\dfrac{2a_{n}b_{n}}{a_{n}+b_{n}}&\text{et}&a_{n+1}=\sqrt{a_{n}b_{n+1}} \end{array}\right.$
En utilisant le 1.a, démontrer par récurrence que : 
 
Pour tout $n\geq 1\;,0\leq a_{n}<b_{n}.$
 
3. En déduire le sens de variation des suites $\left(a_{n}\right)$ et $\left(b_{n}\right)$
 
4. Montrer que les suites $\left(a_{n}\right)$ et $\left(b_{n}\right)$ sont convergentes
 
5. Démontrer que , pour $n\geq 1$ : 
 
$b_{n+1}-a_{n+1}\leq\dfrac{1}{2}\left(b_{n}-a_{n}\right)$
 
(on pourra utiliser $(i)$ et $(ii)$)
 
6. En déduire que, pour $n\geq 1$, $b_{n}-a_{n}\leq\dfrac{1}{2^{n}}$ et que les suites $\left(a_{n}\right)$ et $\left(b_{n}\right)$
 
convergent vers la même limite.
 

Exercice 2

Pour tout entier naturel $\geq 2$, on considère la fonction polynômiale $p_{n}$ définie pour tout $x\in\mathbb{R_{+}}$ par : 
 
$$p_{n}(x)=-1+\sum_{k=1}^{n}x^{k}$$
 
1.a. Étudier le sens de variation de $p_{n}$ sur $\mathbb{R_{+}}$ et préciser $p_{n}(0)$ et $p_{n}(1).$
 
b. En déduire que, pour $n\geq 2$, $p_{2}$ admet une racine unique  $a_{n}$ dans $]0\ ;\ 1[.$
 
Donner la valeur exacte de $a_{2}$
 
2.a. Démontrer que pour tout entier $n\geq 2$ on a :
 
$P_{n+1}\left(a_{n}\right)<0$
 
b. En déduire le sens de variation de la suite $\left(a_{n}\right)$ est-elle convergente ?
 
3.a. Démontrer que pour $x\neq 1$, on a :
 
$P_{n+1}(x)=\dfrac{x^{x+1}-2x+1}{x-1}$
 
En déduire que pour tout $n\geq 2$, on a : 
 
$a_{n}^{n+1}-2a_{n}+1=0$
 
b) Justifier, que pour $n\geq 2$, que $a_{n}\leq a_{2}< 1$ et $0<2a_{n}-1\leq a_{2}^{n+1}$
 
c. En déduire $\lim\limits_{n\longrightarrow +\infty}a_{n}$
 

Problème

Partie A

 
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
 
$f(x)=\dfrac{x-1}{\sqrt{x^{2}-2x+2}}$
 
2. Montrer que $f$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ vers un intervalle $J$ à préciser
 
2) Montrer que $f$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ vers un intervalle $J$ à préciser 
 
3. Tracer la courbe $(\mathcal{C}$ de $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormé $\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$
 
Unité graphique :$2\,cm$
 
4. Montrer que la bijection réciproque $f^{1}$ de $f$ est dérivable sur $]-1\ ;\ 1[$ et on a :
 
$\forall x\in]-1\ ;\ 1]$ : $f^{-1}(x)=1+\dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}[$
 
Indication : $t^{2}-2t+2=(t-1)^{2}+1$
 
5. Tracer la courbe $\left(\mathcal{C'})\right)$ de $f^{-1}$ dans le même repère
 

Partie B

Soit $g$ la fonction définie sur $\left[-\dfrac{\pi}{2}\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right]$ par : 
 
$g(x)=\sin x+f^{-1}(\sin x)-\tan x$
 
1. Montrer que $g$ $\forall x\in]-\dfrac{\pi}{2}\ ;\ \dfrac{\pi}{2}[$ : $g(x)=1+\sin x$
 
2. Montrer que $g$ réalise une bijection de $]-\dfrac{\pi}{2}\ ;\ \dfrac{\pi}{2}[$ vers $]0\ ;\ 2[$
 
3. Montrer que : $\forall x\in]0\ ;\ 2[$ : $\left(g^{-1}\right)^{'}(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2x-x^{2}}}$

Parie C

Soit $\varphi$ la fonction définie sur $]0\ ;\ 2[$ par : $\varphi(x)=g^{-1}(x)+g^{-1}(2-x)$
 
1. Montrer que $\varphi$ est dérivable sur $]0\ ;\ 2[$ puis calculer $\varphi^{'}(x)$
 
2. Montrer que $\forall x\in]0\ ;\ 2[$ ; 
 
$g^{-1}(x)+g^{-1}(2-x)=0$
 
Interpréter géométriquement le résultat.
 
3. Soit $\left(U_{n}\right)_{n\geq 1}$ la suite définie par :
 
$$U_{n}=\sum_{k=1}^{n}\left[g^{-1}\left(\dfrac{1}{k}\right)+g^{-1}\left(\dfrac{2k+1}{k+1}\right)\right]$$
 
a. Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)_{n\geq 1}$ est parfaitement définie 
 
b. Vérifier que :
 
$\varphi\left(\dfrac{2k+1}{k+1}\right)=g^{-1}\left(\dfrac{2k+1}{k+1}\right)+g^{-1}\left(\dfrac{1}{k+1}\right)$
 
c. En déduire que :
 
$U_{n}=-g^{-1}\left(\dfrac{1}{n+1}\right)$
 
d. Calculer la limite de la suite $\left(U_{n}\right)_{n\geq 1}$
 

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