Devoir n° 10 - TL

 

On considère le polynôme $P(x)=2x^{3}+x^{2}-2x-1$

 

1) Montrer que $-1$ est une racine de $P(x)$, puis factoriser $P(x).$

 

2) Résoudre dans $\mathbb{R}\ :$

 

a) $P(x)=0$

 

b) $P(x+2)=0$

 

c) $P(x)\geq 0$

 

3) Résoudre dans $\mathbb{R}\ :$

 

a) $\ln(2x^{3}+x^{2})=\ln(2x+1)$

 

b) $2(\ln x)^{3}+(\ln x)^{2}-2(\ln x)-1=0$

 

A l'occasion de la coupe d'Afrique des nations $2017$ au Gabon, $16$ équipes sont qualifiées parmi lesquels $7$ pays de l'Afrique de l'Ouest dont le Sénégal et $4$ pays du Maghreb. On appelle "trio gagnant" la donnée dans l'ordre des trois pays classés respectivement premier, deuxième et troisième.

 

1) Calculer le nombre total de "trio gagnant" possibles.

 

2) Calculer le nombre de "trio gagnant" tels que :

 

a) Le Sénégal soit vainqueur de la coupe d'Afrique des nations $2017.$

 

b) Le Sénégal figure parmi les trois pays du "trio gagnant".

 

c) Un pays du Maghreb soit classé troisième.

 

d) Le Sénégal est premier et le deuxième est un pays de l'Afrique de l'Ouest.

 

Soit $f$ la fonction de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ définie par :

$$f(x)=\dfrac{x^{2}-3x+6}{x-1}$$

1) Déterminer le domaine de définition $D_{f}$ de $f.$

 

2) Calculer les limites aux bornes de $D_{f}.$

 

3) Déterminer les réels $a\;,\ b\ $ et $\ c$ tels que :

$$f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x-1}$$

4) Montrer que la droite $(D)$ d'équation $y=x-2$ est une asymptote de la courbe $(\mathcal{C}_{f}).$

 

Préciser éventuellement l'asymptote verticale.

 

5) Étudier la position de $(\mathcal{C}_{f})$ par rapport à son asymptote oblique $(D).$

 

6) Montrer que $f'(x)=\dfrac{(x+1)(x-3)}{(x-1)^{2}}$ puis dresser le tableau de variations de $f.$

 

7) Montrer que le point $I\begin{pmatrix} 1\\-1\end{pmatrix}$ est centre de symétrie de la courbe $(\mathcal{C}_{f}).$

 

8) Déterminer l'équation de la tangente $(T)$ à $(\mathcal{C}_{f})$ au point d'abscisse $0.$

 

9) Représenter dans un repère orthonormé $(T)\;,\ (\mathcal{C}_{f})$ et ses asymptotes.

 

$$\text{Durée 3 heures}$$