Devoir n° 12 - 1e S1

1) Discuter et résoudre le système suivant, d'inconnues $x\;,\ y\;,\ z\quad (a\;,\ b\;,\ c$ étant des paramètres réels). $$\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y+z&=&0 \\ (b+c)x+(c+a)y+(a+b)z&=&0 \\ bcx+cay+abz&=&1\end{array}\right.$$

2) a) Vérifier l'équivalence : $$\left\lbrace\begin{array}{rcl} A&=&0 \\ B&=&0\end{array}\right.\ \Leftrightarrow\ \left\lbrace\begin{array}{rcl} A+B&=&0 \\ A-B&=&0\end{array}\right.$$  

b) En déduire que la résolution du système : $$(\sigma)\ \left\lbrace\begin{array}{rcl} x^{3}+7x^{2}y-5y&=&0 \\ y^{3}+7xy^{2}-5x&=&0\end{array}\right.$$ se ramène à la résolution de quatre systèmes d'équations à deux

inconnues.

 

c) Résoudre le système $(\sigma).$

1) Soit $A\;,\ B\;,\ A'\;,\ B'$ des nombres rationnels, $B$ et $B'$ étant positifs et $\sqrt{B}$ irrationnel.

 

Montrer que $A+\sqrt{B}=A'+\sqrt{B'}$ entraîne $A=A'$ et $B=B'.$

 

(Indication : on pourra remarquer que $A+\sqrt{B}=A'+\sqrt{B'}\ \Rightarrow\ A-A'+\sqrt{B}=\sqrt{B'}$, puis élever au carré cette dernière égalité, ensuite isoler dans un membre le terme $\sqrt{B}$ et enfin aboutir à une contradiction si $A-A'\neq 0).$

 

2) Soit $F(x)=ax^{2}+bx+c$ un trinôme du second degré à coefficients rationnels $a\neq 0\;,\ b$ et $c.$

 

On suppose que $\alpha+\sqrt{\beta}$ est une racine de $F(x)$ avec $\alpha$ et $\beta$ rationnels et $\sqrt{\beta}$ irrationnel.

 

Montrer en utilisant 1) que $\alpha-\sqrt{\beta}$ est alors l'autre racine de $F(x).$

 

3) Déterminer des réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $\sqrt{\dfrac{3}{2}+\sqrt{2}}=\alpha+\beta\sqrt{2}$

 

Calculer les racines du trinôme $x^{2}-\sqrt{2}x-\sqrt{2}-1.$

 

Le résultat obtenu est-il contradictoire ?

1) Déterminer l'ensemble des réels $x$ tels que 

 

$a=3\;,\ b=2-x$ et $c=\sqrt{x^{2}+8x+7}$ soient les côtés d'un triangle propre $ABC.$

 

2) Calculer $x$ sachant que le périmètre du triangle $ABC$ est égal à un réel $p$ (positif non nul).

 

3) $ABC$ peut-il être un triangle rectangle ? un triangle isocèle ?

Les trois questions sont totalement indépendantes.

 

1) Discuter et résoudre l'équation d'inconnue $x$ : $$\dfrac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}\geq m$$

$m$ désignant un paramètre réel.

 

2) Résoudre et discuter l'équation d'inconnue $x$ : $$\sqrt{2x+m}-\sqrt{x}=5$$ ($m$ est un paramètre réel) en posant $u=\sqrt{x}.$

 

3) a) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation d'inconnue $x$ suivante : $$mx^{2}+(1-5m)x-3(1-2m)>0$$ on discutera suivant les valeurs du paramètre réel $m.$

 

b) Placer les réels 0 et 1 par rapport aux racines du trinôme du a).

 

c) En déduire la résolution de l'inéquation : $$\dfrac{m(x-5)+1}{x-1}\geq\dfrac{3(1-2m)}{x^{2}-x}$$