Devoir n° 12 - 2nd s

On donne les encadrements : $-2.7\leq a\leq -2.6$ et $-0.3\leq b\leq -0.2$

 

Encadrer $a+b\;,\ a-b\;,\ ab\;,\ \dfrac{a}{b}$ et $\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}$.

Soient deux réels $x\;,\ y$ strictement positifs.

 

1) Démontrer que : $\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}\leq\dfrac{1}{2xy}$ et que : $\dfrac{x+y}{x^{2}+y^{2}}\leq\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)$.

 

2) Soient trois réels $a\;,\ b\;,\ c$ strictement positifs. Démontrer que : $$\dfrac{a+b}{a^{2}+b^{2}}+\dfrac{b+c}{b^{2}+c^{2}}+\dfrac{c+a}{c^{2}+a^{2}}\leq\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$$

Comparer : $1989(1+2+3+\ldots+1990)$ et

$1990(1+2+3+\ldots+1989).$

Soient $x$ et $y$ deux réels tels que $0<x<y$ et $a$ et $b$ deux réels strictement positifs.

 

Démontrer que : $\dfrac{x}{y}<\dfrac{ax+by}{bx+ay}<\dfrac{y}{x}$.

Soient trois réels non nuls $a\;,\ b\;,\ c$ tels que : $ab+bc+ca=0.$

Calculer la somme $S=\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}+\dfrac{a+b}{c}$.

 

 

 

$$\text{Durée : 2 h}$$