Devoir n° 15 - 1e S2

Soit $ABC$ un triangle rectangle en $C$ tel que $CA=6$ et $CB=3.$

 

1) Déterminer l'ensemble $E_{1}$ des points $M$ du plan vérifiant : $$MA^{2}-MB^{2}=60$$

2) a) Déterminer l'ensemble $E_{2}$ des points $M$ du plan vérifiant : $$MA^{2}+2MB^{2}=45$$

b) Justifier que la somme $MA^{2}+2MB^{2}$ est minimale si et seulement si $M=G.$

 

Que vaut alors cette somme ?

 

3) Déterminer l'ensemble $E_{3}$ des points $M$ du plan vérifiant : $$\dfrac{MA}{MB}=2$$

4) Dessiner sur une même figure , en prenant pour unité le centimètre, les ensembles $E_{1}\;,\ E_{2}$ et $E_{3}.$

 

5) Prouver que les ensembles $E_{1}$ et $E_{2}$ sont sans point commun.

Soient $A\;,\ B\;,\ C$ trois points non alignés du plan, $G$ le barycentre de $\{(A\;,\ 1)(B\;,\ 2)(C\;,\ -1)\}$ et $M$ un point quelconque du plan.

 

Soient les vecteurs $\vec{u}=\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}$ et $\vec{v}=2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}.$

 

1) Déterminer l'ensemble $\mathcal{E}$ des points $M$ du plan pour lesquels $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.

 

2) Déterminer l'ensemble $\mathcal{F}$ des points $M$ du plan pour lesquels $||\vec{u}||=||\vec{v}||$

$O\;,\ A\;,\ B$ sont trois points non alignés du plan. On rapporte le plan au repère $(O\;,\ \overrightarrow{OA}\;,\ \overrightarrow{OB}).$

 

Pour tout réel $m$ non nul, $G_{m}$ désigne le barycentre des points pondérés $(O\;,\ m-2)\;,\ (A\;,\ 2)$ et $(B\;,\  m).$

 

1) Construire $G_{1}$ et $G_{2}.$

 

2) Déterminer les coordonnées de $G_{m}.$

 

3) a) Soit $I$ le milieu de $[OB].$  Montrer que les vecteurs $\overrightarrow{IG}_{m}$ et $\overrightarrow{OA}$ sont colinéaires.

 

b) Déterminer l'ensemble des points $G_{m}$ lorsque $m$ décrit $\mathbb{R}^{*}.$

Dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$, on considère le cercle $\mathcal{C}$ d'équation : $$x^{2}+y^{2}-4x+3=0$$

1) Déterminer son centre et son rayon.

 

2) Soit $\mathfrak{D}$ la droite d'équation $y-x-m=0.$

 

Écrire l'équation du second degré ayant pour racines les abscisses des points communs à $\mathcal{C}$ et $\mathfrak{D}$ lorsqu'ils existent.

 

Écrire les équations des tangentes à $\mathcal{C}$ , parallèles à la droite d'équation $y=x$ (première bissectrice).

 

3) On désigne par $A$ et $B$ les points communs à $\mathcal{C}$ et $\mathfrak{D}$ lorsqu'ils existent, et par $I$ le milieu de $[AB].$ Quelles sont en fonction de $m$ , les coordonnées de $I$ ? Quel est l'ensemble des points $I$ ?

 

$$\text{Durée : 2 h 30}$$