Devoir n° 16 - 2nd s

 

1) Écrire sous forme canonique $-5x^{2}+2x-3.$

 

2) Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :

 

a)  $2x^{2}-5x+3=0\quad$ b) $8x^{2}+8x+2=0\quad$ c) $-3x^{2}+x-1=0$

 

3) On considère la fonction $f\ :\ \mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}.$ Déterminer l'ensemble de définition de $f.$

 

a) $f(x)=\sqrt{(-x)^{2}}\quad$ b) $f(x)=\sqrt{-x+3}\quad$ c) $f(x)=(\sqrt{x+1})^{2}$ 

 

d) $f(x)=\dfrac{2}{x+1}-\dfrac{1}{-x+2}\quad$ e) $f(x)=\dfrac{2x-1}{4x^{2}-3x+1}\quad$ f) $f(x)=\dfrac{\sqrt{2x+1}}{3x^{2}+3x}$

 

3) On considère la fonction $f\ :\ ]-1\;;\ +\infty[\longrightarrow\mathbb{R}$. Déterminer l'ensemble de définition de $f.$

 

a) $f(x)=\dfrac{x+2}{|x+2|}\quad$ b) $f(x)=\dfrac{1}{x-2}+\sqrt{-x+5}\quad$ c) $f(x)=\dfrac{\sqrt{1-x^{2}}-1}{x}\quad$ d) $f(x)=\dfrac{2x+7}{x-2}$

Soit $ABC$ un triangle.

 

1) Construire les points $D$ et $E$ tels que $\overrightarrow{BD}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}$ et $E$ isobarycentre des points $A$ et $C.$

 

2) Exprimer $D$ comme barycentre des points $B$ et $C$ affectés de coefficients à déterminer.

 

3) On pose $H=bar\{(A\;,\ 2)(B\;,\ 4)(C\;,\ 2)\}.$ En utilisant le barycentre partiel, montrer que les droites $(AD)$ et $(BE)$ sont sécantes en $H.$

Soit $ABCD$ un rectangle tel que $AB=4\;cm$ et $AD=3\;cm.$

 

1) a) Vérifier que $D$ est le barycentre du système de points pondérés 

 

$\{(A\;,\ 1)(B\;,\ -1)(C\;,\ 1)\}.$

 

b) Construire le point $L$ bar $\{(A\;,\ 1)(B\;,\ -2)(D\;,\ 2)\}.$

 

2) a) Réduire les vecteurs $\vec{u}=\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}$ et $\vec{v}=\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MD}$

 

b) Déterminer et construire l'ensemble $E$ des points $M$ du plan tels que $\vec{u}$ soit colinéaire à $\vec{v}.$

 

c) Déterminer et construire l'ensemble $F$ des points $M$ du plan tels que $\vec{u}$ soit orthogonal à $\vec{v}.$

 

 

$$\text{Durée : 2 h}$$