Devoir n° 19 - 1e S2

 

Les différentes questions sont indépendantes.

 

1) Déterminer l'ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes :

a) $f(x)=\dfrac{\sqrt{-x}}{2x+1}\quad$ b) $f(x)=\dfrac{\sqrt{-6x^{2}+13x+5}}{2x-3}\quad$ c) $f(x)=\dfrac{1-\sqrt{-x}}{1+\sqrt{-x}}$

 

d) $f(x)=\dfrac{x-5}{2|x|-3}$

 

2) Soient les fonctions $f$ et $g$ définies par : $$f(x)=-1\quad\text{ et }\quad g(x)=\dfrac{\sqrt{x^{2}}}{|x|}$$

Trouver un sous-ensemble $\mathcal{D}$ de $\mathbb{R}$ tel que les restrictions de $f$ et $g$ à $\mathcal{D}$ soient égales.

 

3) Dans chacun des cas suivants, préciser $g\circ f$ et $f\circ g.$ On donnera l'ensemble de définition de $g\circ f$ et $f\circ g.$

 

a) $f(x)=|x|$ et $g(x)=\sqrt{x}\quad$  b) $f(x)=\sqrt{x}$  et $g(x)=\dfrac{x-1}{x+1}$

 

4) Soit la fonction numérique $f$ définie par : $f(x)=\sqrt{2x-1}+1$

 

a) Montrer que $f$ est une bijection de $\left[\dfrac{1}{2}\;;\ +\infty\right[$ sur $[1_;;\ +\infty[.$

 

b) Préciser $f^{-1}.$

Résoudre par la méthode du pivot les systèmes suivants :

 

1) $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+3y-2z&=&2 \\ 2x-y+5z&=&15 \\ -3x+2y+z&=&-5\end{array}\right.\qquad$  2) $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y+z+t&=&0 \\ 2x-y+3z-t&=&19 \\  x-y+z+2t&=&1 \\ 3x+2y-2z-3t&=&0 \end{array}\right.$ 

Un artisan fabrique des sacs de toile et cuir de deux types différents $A$ et $B.$ La réalisation d'un sac de type $A$ demande $0.50\;m^{2}$ de toile et $0.40\;m^{2}$ de cuir, celle d'un sac de type $B$ demande $0.60\;m^{2}$ de toile et $0.68\;m^{2}$ de cuir.

 

L'artisan dispose chaque semaine de $15\;m^{2}$ de toile et de $14\;m^{2}$ de cuir. Les profits réalisés sont $40\;F$ par sac $A$ et de $60\;F$ par sac $B.$

 

1) Choisir les deux inconnues $x$ et $y.$

 

Traduire les contraintes de l'artisan par des inéquations à deux inconnues $x$ et $y.$

 

2) Traduire graphiquement les inéquations.

 

En déduire la zone $Z$ des productions $(x\;,\ y)$ possibles.

 

3) a) Calculer en fonction de $x$ et $y$ le profit $p(x\;,\ y)$ réalisé par semaine.

 

b) En traçant sur le graphique des droites de la forme $p(x\;,\ y)=k\;$, déterminer le programme de fabrication qui assure un profit maximal et calculer ce profit.

 

 

 

$$\text{Durée : 3h}$$