Devoir n° 20 - 2nd s

Classe: 
Seconde

Exercice 1 

1) a) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $x^{2}-20x+64=0.$
 
b) En déduire les solutions de chacune des équations suivantes :
 
$\centerdot\ x^{2}-20x+64=0\quad \centerdot\ (5x-x^{2})^{2}-20(5x-x^{2})+64=0.$
 
2) Résoudre dans $\mathbb{R}$ :
 
a) $|3x^{2}+3x-3|=|x^{2}+x+1|$ 
 
b) $\dfrac{2x^{2}+3x-5}{-2x^{2}-10x-12}\leq 0$

Exercice 2 

On dispose de 400 m de grillage pour délimiter un enclos $ABCD$ de forme rectangulaire.
 
1) Soit $x$ sa longueur, calculer en fonction de $x$ l'aire de l'enclos.
 
2) Trouver $x$ de façon que cette aire soit égale à $1900\;m^{2}.$

Exercice 3 

Soient $A\;,\ B\;,\ C$ trois points du plan non alignés, $G$ barycentre du système $\{(A\;,\ 2)(B\;,\ 1)(C\;,\,3)\}.$ et $E$ barycentre de $\{(A\;,\ 2)(B\;,\ 1)\}.$
 
1) a) Construire $E.$
 
b) Montrer que $G$ est le milieu de $[EC]\;$, puis construire $G.$
 
2) Soit $\vec{u}=2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}.$
 
a) Exprimer $\vec{u}$ en fonction de $\overrightarrow{MG}$
 
b) Trouver l'ensemble des points $M$ du plan tels que $\vec{u}$ soit colinéaire au vecteur $\overrightarrow{BC}$
 
c) Soit $\mathfrak{C}$ l'ensemble des points $M$ du plan tels que $$||2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}||=18\;cm$$
 
Déterminer $\mathfrak{C}$ et la représenter.

Exercice 4

$A\;,\ B\;,\ C$ sont trois points alignés tels que : $AB=2\;cm$ et $BC=3\;cm.$
 
On construit les deux carrés adjacents $BCDE$ et $ABFG$ avec $F\in[BE].\ O$ est le point d'intersection de $(AD)$ et $(BE).$
 
1) Faire une figure.
 
2) a) Exprimer $\overrightarrow{AB}$ en fonction de $\overrightarrow{AC}.$
 
b) En utilisant le théorème de Thalès, en déduire que $\overrightarrow{BO}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{CD}.$
 
c) Exprimer $\overrightarrow{CB}$ en fonction de $\overrightarrow{CA}.$
 
d) Exprimer $\overrightarrow{BO}$ en fonction de $\overrightarrow{AG}.$
 
e) Comparer $\overrightarrow{CO}$ et $\overrightarrow{CG}.$ En déduire que $C\;,\ O\;,\ G$ sont alignés.
 
3) Soient les vecteurs $\vec{i}$ et $\vec{j}$ définis par : $\vec{i}=\overrightarrow{AB}$ et $\vec{j}=\overrightarrow{AG}.$
 
a) Montrer que les vecteurs $\vec{i}$ et $\vec{j}$ forment une base du plan .
 
b) Donner les coordonnées des points $A\;,\ B\;,\ C\;,\ D\;,\ E\;,\ F\;,\ G$ dans le repère $(A\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$
 
c) Donner une équation de chacune des droites $(AD)$ et $(BE).$
 
En déduire les coordonnées du point $O$
 
d) Montrer alors que $C\;,\ G\;,\ O$ sont alignés.
 
 
$$\text{Durée : 3 h}$$
 
Auteur: 
Mouhamadou Ka

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