Devoir n° 20 - 2nd s

1) a) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $x^{2}-20x+64=0.$

 

b) En déduire les solutions de chacune des équations suivantes :

 

$\centerdot\ x^{2}-20x+64=0\quad \centerdot\ (5x-x^{2})^{2}-20(5x-x^{2})+64=0.$

 

2) Résoudre dans $\mathbb{R}$ :

 

a) $|3x^{2}+3x-3|=|x^{2}+x+1|$ 

 

b) $\dfrac{2x^{2}+3x-5}{-2x^{2}-10x-12}\leq 0$

On dispose de 400 m de grillage pour délimiter un enclos $ABCD$ de forme rectangulaire.

 

1) Soit $x$ sa longueur, calculer en fonction de $x$ l'aire de l'enclos.

 

2) Trouver $x$ de façon que cette aire soit égale à $1900\;m^{2}.$

Soient $A\;,\ B\;,\ C$ trois points du plan non alignés, $G$ barycentre du système $\{(A\;,\ 2)(B\;,\ 1)(C\;,\,3)\}.$ et $E$ barycentre de $\{(A\;,\ 2)(B\;,\ 1)\}.$

 

1) a) Construire $E.$

 

b) Montrer que $G$ est le milieu de $[EC]\;$, puis construire $G.$

 

2) Soit $\vec{u}=2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}.$

 

a) Exprimer $\vec{u}$ en fonction de $\overrightarrow{MG}$

 

b) Trouver l'ensemble des points $M$ du plan tels que $\vec{u}$ soit colinéaire au vecteur $\overrightarrow{BC}$

 

c) Soit $\mathfrak{C}$ l'ensemble des points $M$ du plan tels que $$||2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}||=18\;cm$$

 

Déterminer $\mathfrak{C}$ et la représenter.

$A\;,\ B\;,\ C$ sont trois points alignés tels que : $AB=2\;cm$ et $BC=3\;cm.$

 

On construit les deux carrés adjacents $BCDE$ et $ABFG$ avec $F\in[BE].\ O$ est le point d'intersection de $(AD)$ et $(BE).$

 

1) Faire une figure.

 

2) a) Exprimer $\overrightarrow{AB}$ en fonction de $\overrightarrow{AC}.$

 

b) En utilisant le théorème de Thalès, en déduire que $\overrightarrow{BO}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{CD}.$

 

c) Exprimer $\overrightarrow{CB}$ en fonction de $\overrightarrow{CA}.$

 

d) Exprimer $\overrightarrow{BO}$ en fonction de $\overrightarrow{AG}.$

 

e) Comparer $\overrightarrow{CO}$ et $\overrightarrow{CG}.$ En déduire que $C\;,\ O\;,\ G$ sont alignés.

 

3) Soient les vecteurs $\vec{i}$ et $\vec{j}$ définis par : $\vec{i}=\overrightarrow{AB}$ et $\vec{j}=\overrightarrow{AG}.$

 

a) Montrer que les vecteurs $\vec{i}$ et $\vec{j}$ forment une base du plan .

 

b) Donner les coordonnées des points $A\;,\ B\;,\ C\;,\ D\;,\ E\;,\ F\;,\ G$ dans le repère $(A\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$

 

c) Donner une équation de chacune des droites $(AD)$ et $(BE).$

 

En déduire les coordonnées du point $O$

 

d) Montrer alors que $C\;,\ G\;,\ O$ sont alignés.

 

 

$$\text{Durée : 3 h}$$