Devoir n° 21 - 2nd s

 

Soit $ABCD$ un parallélogramme de centre $O.$

 

1) Construire $K$ barycentre de $\{(B\;,\ 2)(C\;,\ -1)\}.$

 

Montrer que $B$ est le milieu du segment $[KC].$

 

2) Quel est barycentre de $\{(D\;,\ 2)(D\;,\ 1)\}\;$ ?

 

3) Soit $I$ le barycentre de $\{(D\;,\ 2)(B\;,\ 2)(C\;,\ -1)\}.$

 

a) Montrer que $I$ est l'intersection des droites $(DK)$ et $(OC).$

 

b) Montrer que $4\overrightarrow{IO}-\overrightarrow{IC}=\vec{0}.$

 

c) Montrer que $I$ est le centre de gravité du triangle $ABD.$

 

d) Soit $J$ le centre de gravité du triangle $DBC.$ Montrer que $O$ est le milieu de $[IJ].$

1) Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :

 

a) $7x^{2}-12x+5=0$ 

 

b) $4x^{2}+3x+1=0$ 

 

c) $\dfrac{1}{2}x^{2}-\dfrac{5}{2}x-12=0$

 

d) $(2x^{2}+3x+7)^{2}=(x^{2}-4x+1)^{2}$ 

 

e) $\dfrac{x}{3}+\dfrac{3}{x}=\dfrac{5}{2}$

 

2) Résoudre l'équation : $x^{2}+5x-36=0\;$, puis en déduire les solutions des équations suivantes :

 

a) $x^{4}+5x^{2}-36=0$

 

b) $\left(\dfrac{2x+1}{x-3}\right)^{2}+5\left(\dfrac{2x+1}{x-3}\right)-36=0$

Soit l'équation $(E)\ :\ 7x^{2}+10x-35=0.$

 

Sans calculer le discriminant $\Delta\;$, montrer que l'équation $(E)$ admet deux solutions distinctes $x_{1}$ et $x_{2}\;$, puis en déduire $x_{1}+x_{2}\;,\ x_{1}x_{2}\;,\ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$ et $\dfrac{1}{x_{1}}+\dfrac{1}{x_{2}}$(Il n'est pas demandé de calculer $x_{1}$ et $x_{2}.)$

Dans chacun des cas suivants, trouver les réels $x$ et $y$ vérifiant :

 

a) $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y&=&-3 \\ xy&=&-28\end{array}\right.$

 

b) $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y&=&19 \\ x^{2}+y^{2}&=&193\end{array}\right.$

Trouver les dimensions d'un rectangle de périmètre $140\;m$ et de diagonale $50\;m.$

 

 

$$\text{Durée : 2 h}$$