Devoir n° 22 - 1e S1

Soit $IJK$ un triangle quelconque.

 

$L$ le barycentre du système $\{(I\;,\ 1)(J\;,\ -2)(K\;,\ -1)\}$;

 

$M$ le barycentre du système $\{(I\;,\ -2)(J\;,\ -1)(K\;,\ 1)\}$;

 

$N$ le barycentre du système $\{(I\;,\ -1)(J\;,\ 1)(K\;,\ -2)\}.$

 

1) Construire les points $L\;,\ M$ et $N.$

 

2) Soit $K'$ et $K''$ les centres de gravité des triangles $IJK$ et $LMN.$

 

Montrer que $K'$ et $K''$ sont confondus.

Dans le plan, on considère un triangle $ABC$ rectangle en $A$ tel que : $AB=a$ et $AC=2a\quad(a\in\mathbb{R}).$ On appelle $I$ le milieu de $[AC].$

 

1) Soit $J$ le barycentre de $\{(A_;,\ 3)(C\;,\ -1)\}.$

 

Montrer que $A$ est le milieu de $[IJ].$

 

2) Déterminer le point $G$ barycentre des points $A\;,\ B$ et $C$ affectés des coefficients respectifs 3, 2 et -1.

 

3) Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan tels que : $$3AM^{2}+BM^{2}-CM^{2}=6a^{2}$$

 

Indication : On remarquera que $I$ est un élément de cet ensemble.

Soit un triangle $ABC$ rectangle en $A.\;\ H$ est le pied de sa hauteur issue de $A.$ Le cercle $(\mathcal{C})$ de diamètre $[AH]$ recoupe $(AB)$ et $(AC)$ respectivement en $M$ et $N.$

 

1) a) Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $B\;,\ M\;,\ N$ et $C$ soient cocycliques.

 

b) Montrer alors que $B\;,\ M\;,\ N$ et $C$ sont sur un même cercle $(\Gamma).$

 

c) Le cercle $(\mathcal{C}')$ de centre $A$ et de rayon $AH$ coupe $(\Gamma)$ en $T$ et $T'.$

 

Montrer que $(AT)$ et $(AT')$ sont tangentes au cercle $(\Gamma).$

Soit $ABB'$ un triangle. on construit le carré $ABCD$ tel que les points $C$ et $D$ n'appartiennent pas au demi-plan de frontière $(AB)$ qui contient $B'$ ; le carré $AB'C'D$ tel que $C'$ et $D'$ n'appartiennent pas au demi-plan de frontière $(AB')$ contenant $B.$ on désigne par $B$ et $D$ les milieux des segments $[BB']$ et $[DD'].$

 

1) Comparer les produits scalaires $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AB}'$ et $\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AD}'.$

 

2) Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{BD}'.\overrightarrow{B'D}$ ; que peut-on dire des droites $(BD')$ et $(B'D)$ ?

 

3) Calculer les produits scalaires $\overrightarrow{AN}.\overrightarrow{BB}'$ et $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{DD}'$ ; en déduire que les droites $(AN)$ et $(AM)$ sont respectivement perpendiculaires aux droites $(BB')$ et $(DD').$

 

 

 

$$\text{Durée : 2 h}$$