Devoir n° 23 - 2nd s

 

Étant donné un triangle $ABC$ et un réel $\alpha\;$, on définit trois points $P\;,\ Q\;,\ R$ par : $$\overrightarrow{CR}=-\alpha\overrightarrow{CB}\;,\quad\overrightarrow{CQ}=\alpha\overrightarrow{CA}\;,\quad\overrightarrow{AP}=\alpha\overrightarrow{AB}$$

 

1) Faire la figure pour $\alpha=-2.$

 

2) Déterminer dans le repère $(A\;,\ B\;,\ C)$ les coordonnées des points $P\;,\ Q\;,\ R$ en fonction de $\alpha.$

 

3) Exprimer dans la base $(\overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AC})$ les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{PQ}$ et $\overrightarrow{PR}$ à l'aide de $\alpha.$

 

4) Déterminer $\alpha$ pour que $P\;,\ Q\;,\ R$ soient alignés et distincts.

 

5) Faire la figure dans ce cas et montrer que $Q$ est alors le milieu de $[PR].$

Soient les points $A(-4\;,\ 6)\;,\ B(3\;,\ -2)$ et $C(-5\;,\ 2).$

 

1) Déterminer le point $E$ de l'axe $(y'Oy)$ tel que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CE}$ soient colinéaires.

 

2) Déterminer le point $F$ tel que $\overrightarrow{BF}$ et $\overrightarrow{AC}$ soient colinéaires et que le milieu du segment $[BF]$ soit sur l'axe $(x'Ox).$

 

3) Déterminer le point $K$ dont les deux coordonnées sont égales et tel que $\overrightarrow{BK}$ et $\overrightarrow{CA}$ soient colinéaires.

 

4) Déterminer le point $H$ tel que $\overrightarrow{CH}$ et $\overrightarrow{AB}$ soient colinéaires et que le milieu du segment $[CH]$ ait des coordonnées opposées.

Soit $ABCD$ un carré dont le côté mesure $4\;cm.$ On construit à l'intérieur du carré le triangle équilatéral $ABE$ et à l'extérieur du carré le triangle équilatéral $BCF.$

 

1) Faire une figure.

 

2) Justifier que $(A\;,\ \overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AD})$ est un repère.

 

3) Exprimer les vecteurs $\overrightarrow{AE}$ et $\overrightarrow{AF}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}.$

 

4) Quelles sont les coordonnées des points $D\;,\ E$ et $F$ dans le repère $(A\;,\ \overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AD}).$

 

5) Démontrer que les points $D\;,\ E\;,\ F$ sont alignés.

Mettre sous forme canonique chacun des trinômes du second degré suivants :

 

$A=\dfrac{1}{2}x^{2}+x-4\;,\quad B=3(x+1)^{2}-x\;,\quad C= 4\sqrt{2x}-x^{2}-8$

 

$D=\sqrt{2}x^{2}-6x+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\;,\quad E=-\dfrac{1}{3}x^{2}+x-\dfrac{1}{5}\;,\quad F=(2x-5)(2x+5)$

 

 

 

$$\text{Durée : 2 h}$$