Devoir n° 24 - 2nd s

1) Résoudre les systèmes suivants : 

 

a) $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x-y&=&115 \\ x^{2}+y^{2}&=&117\end{array}\right.$ 

 

b) $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y&=&3 \\ \\ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}&=&-\dfrac{1}{6}\end{array}\right.$

 

2) Résoudre les équations suivantes à l'aide d'un changement de variable :

 

a) $2x^{4}-5x^{2}-3=0$ (poser $X=x^{2}$) 

 

b) $\left(\dfrac{x+2}{2x-1}\right)^{2}+\left(\dfrac{x+2}{2x-1}\right)=\dfrac{3}{4}$ (poser $X=\dfrac{x+2}{2x-1}$)

 

3) Résoudre l'inéquation suivante : $$\dfrac{(x^{2}+x-2)(-x^{2}-5x+6)}{x^{2}-36}\geq 0$$

Le plan $P$ est muni d'un repère $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})\;;\ m$ étant un paramètre réel, on considère l'ensemble $(D_{m})$ des points $M(x\;,\ y)$ du plan tels que : $(m-1)x+(m-2)y+m=0.$

 

1) Vérifier que, pour tout nombre $m$, l'ensemble $(D_{m})$ est une droite dont on précisera un vecteur directeur.

 

2) Déterminer $m$ pour que $(D_{m})$ soit parallèle à l'axe des abscisses.

 

3) Déterminer $m$ pour que $(D_{m})$ soit parallèle à l'axe des ordonnées.

 

4) Déterminer $m$ pour que $(D_{m})$ soit perpendiculaire à la droite $(D)$ d'équation : $x+3y+2=0.$

 

5) On considère maintenant $(D_{3}).$

 

a) Donner une représentation paramétrique de $(D_{3}).$

 

b) Soit $(D')$ la droite dont une représentation paramétrique est : $$\left\lbrace\begin{array}{rcl} x&=&-2+\dfrac{1}{2}t \\ \\ y&=&-t\end{array}\right.$$

Donner une équation cartésienne de $(D').$

 

c) Déterminer $(D_{3})\cap(D').$

$ABC$ est un triangle. $P\;,\ Q\;,\ R$ sont les points tels que : $$\overrightarrow{CP}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CA}\;;\quad\overrightarrow{AQ}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}\;;\quad\overrightarrow{BR}=\dfrac{4}{5}\overrightarrow{BC}$$

On note $I$ le point d'intersection des droites $(BP)$ et $(CQ).$

 

1) Démontrer que $R$ est barycentre de $\{(B\;,\ 1)(C\;,\ 4)\}.$ Construire $R.$

 

2) Démontrer que $P$ est barycentre de $\{(A\;,\ 1)(C\;,\ 2)\}.$ Construire $P.$

 

3) Démontrer que :$\overrightarrow{BA}+2\overrightarrow{BC}=3\overrightarrow{BP}.$

 

4) Démontrer que $Q$ est barycentre de $\{(B\;,\ 1)(A\;,\ 2)\}.$ Construire $Q.$

 

5) Démontrer que : $\overrightarrow{CB}+2\overrightarrow{CA}=3\overrightarrow{CQ}.$

 

6) Les points $B\;,\ I\;,\ P$ sont alignés. Donc il existe un réel $h$ tel que : $\overrightarrow{BI}=h\overrightarrow{BP}.$ De même, il existe un réel $k$ tel que $\overrightarrow{CI}=k\overrightarrow{CQ}.$

 

Démontrer que : $3\overrightarrow{CI}=-3k\overrightarrow{BC}+2k\overrightarrow{BA}=(2h-3)\overrightarrow{BC}+h\overrightarrow{BA}.$

 

Calculer alors $h$ et $k.$

 

7) Montrer que : $7\overrightarrow{CI}=2\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}$. En déduire que $I$ est barycentre de $\{(A\;,\ 2)(B\;,\ 1)(C\;,\ 4)\}.$

 

 

$$\text{Durée : 3 h}$$