Devoir n° 27 - 2nd s

$a\;,\ b\;,\ c\;,\ x\;,\ y\;,\ z$ sont des réels positifs ; montrer que : $$ax+by+cz\leq\sqrt{(a^{2}+b^{2}+c^{2})(x^{2}+y^{2}+z^{2})}$$

On considère les réels $A$ et $b$ définies par :

 

$A=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{3}{4}\times\dfrac{5}{6}\times\ldots\times\dfrac{21}{22}\times\dfrac{23}{24}$  et $B=\dfrac{2}{3}\times\dfrac{4}{5}\times\dfrac{6}{7}\times\ldots\times\dfrac{22}{23}\times\dfrac{24}{25}$

 

1) Démontrer que $A<B.$ Calculer $A\times B.$ En déduire que : $A<\dfrac{1}{5}<B.$

 

2) Démontrer que $B<2A.$  En déduire que : $\dfrac{\sqrt{2}}{10}<A.$

$ABC$ est un triangle ; $M\;,\ N\;,\ P$ les points définis par : 

 

$\overrightarrow{AP}=-\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AC}\;;\ \overrightarrow{MN}+\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{AC}$ et $2\overrightarrow{AN}-3\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BA}$

 

1) Exprimer $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AN}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}.$ 

 

Construire les points $P\;,\ M\;,\ N.$

 

2) Montrer que les points $B\;,\ M\;,\ N$ sont alignés, et préciser la position de $M$ sur $[BN].$

 

3) Soit $F=S_{N}(P).$ Montrer que $(PM)$ passe par le milieu de $[BF].$

 

4) $(AM)$ coupe $(PF)$ en $R.$ Trouver le réel $\alpha$ tel que : $\overrightarrow{PR}=\alpha\overrightarrow{PF}.$

$ABCD$ est un quadrilatère convexe tel que $[AB]$ et $[CD]$ soient non parallèles. On note $A_{0}\;,\ A_{1}\;,\ B_{0}\;,\ B_{1}\;$, les milieux respectifs de $[BC]\;,\ [AD]\;,\ [AC]$ et $[BD].$

 

1) Quelle est la nature de $A_{0}A_{1}B_{1}B_{0}\;$ ?

 

2) Soit $M$ un point de $[CD].$ Montrer que $(A_{0}A_{1})$ passe par le milieu $m$ de $[AM]$ et que $(B_{0}B_{1})$ passe par le milieu $m'$ de $[BM].$

 

3) En déduire que si $M$ est un point de $[CD]\;$, et $N$ un point de $[AB]\;$, alors le milieu $I$ de $[MN]$ est sur la droite $(mm').$

 

 

$$\text{Durée : 2 h}$$