Devoir n° 28 - 2nd s

Simplifier les expressions :

 

$A=\left(1-\dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\right)\div\left(1+\dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}\right)$

 

$B=\left(\dfrac{x-y}{x+y}+\dfrac{x+y}{x-y}\right)\left(\dfrac{x^{2}+y^{2}}{2xy}+1\right)\left(\dfrac{xy}{x^{2}+y^{2}}\right)$

 

$C=\dfrac{1}{a(a+b)}+\dfrac{2b}{a(a^{2}-b^{2})}-\dfrac{a+b}{ab(a-b)}$

1) Déterminer le signe, puis calculer les carrés des réels suivants : $$X=\sqrt{5}-\sqrt{6}\;,\quad Y=\sqrt{5}-\sqrt{2}\;,\quad Z=\sqrt{6}+\sqrt{2}$$

2) En déduire une écriture simplifiée des nombres : $$A=\sqrt{11-2\sqrt{30}}\;,\quad B=\sqrt{7-2\sqrt{10}}\;,\quad C=\sqrt{2+\sqrt{3}}$$

3) Trouver trois nombres réels non nuls tels que : $$\dfrac{a}{A}+\dfrac{b}{B}+\dfrac{c}{C}=0$$

$a\;,\ b\;,\ c$ et $d$ sont des réels strictement positifs tels que $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}.$ Démontrer les égalités :

 

1) $\sqrt{ab}+\sqrt{cd}=\sqrt{(a+c)(b+d)}$

 

2) $\sqrt{\dfrac{2a^{2}+3b^{2}}{2c^{2}+3d^{2}}}=\dfrac{b}{d}$

$ABCD$ est un parallélogramme, $E$ et $F$ les points définis par : $\overrightarrow{AE}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AF}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}.$

 

1) Exprimer $\overrightarrow{DE}$ et $\overrightarrow{BF}$  en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}.$

 

En déduire que $(DE)$ est parallèle à $(BF).$

 

2) $(DE)$ coupe $(AB)$ en $J\;;\ (BF)$ coupe $(CD)$ en $I.$

 

Démontrer que $I$ et $J$ sont les milieux de $[AB]$ et $[DC]$ et que $(IJ)$ est parallèle à $(AD).$

 

Montrer que $IEJF$ est un parallélogramme.

 

3) $(DE)$ coupe $(BC)$ en $G.$ Montrer que $B$ est le milieu de $[CG]$ et $J$ le milieu de $[DG].$

 

4) Montrer que $\overrightarrow{DE}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{DJ}.$

 

Préciser la position de $E$ par rapport aux points $D$ et $G.$

 

 

$$\text{Durée : 2 h}$$