Devoir n° 29 1e S

Classe: 
Première
 

Exercice 1 

Soient un demi-cercle de centre O, de rayon R, de diamètre [AB], [OC] le rayon perpendiculaire à (AB), M un point du demi-cercle situé sur l'arc BC , D le point d'intersection de la droite (AB) et de la tangente en M au cercle.
 
On se propose de déterminer le point M de façon que :
MA=mMD,
 
m est un paramètre réel strictement positif.
 
1) Soit x une mesure en radians de l'angle orienté (AB, AM).
 
Justifier que : 
 
(OB, OM)=2x[2π]. 
 
Encadrer x.
 
2) Exprimer les distances AM et MD en fonction de R et x.
 
En déduire que le point M répond à la question si et seulement si x vérifie les deux u et u conditions :
(I){2cosx=mtanx0<x<π4
 
3) Exprimer tan2x en fonction de sinx et cosx. 
 
En posant u=sinx, démontrer que la résolution du système (I) se ramène à celle du système :
(II){2u2+mu1=00<u<22 
 
4) On considère l'équation du second degré : 
 
2u2+mu1=0
 
Montrer que cette équation admet deux racines u et u de signes contraires, puis classer 22 par rapport à u et u.
 
5) Déduire de la question précédente que le système (II) admet, quel que soit mR+, une solution unique u , dont on donnera l'expression en fonction de m.
 
6) Conclure quant au problème posé.

 

 

Exercice 2

Soit f la fonction définie par : 
 
f(x)=1+x+1x1+x1x
 
1) Déterminer l'ensemble de définition de f.
 
2) Démontrer que, pour tout x élément de Df , on a :
 
f(x)=1+1x2x
 
3) Démontrer que la fonction f est impaire.
 
4) Étudier limx1f(x)f(1)x1. 
 
Que peut-on en déduire ?
 
5) Sur quelle partie de Df la fonction f est-elle dérivable ?
 
Déterminer sa fonction dérivée f.
 
6) Dresser le tableau de variation de f.

Exercice 3

Le plan est rapporté au repère orthonormé direct (O, i, j). 
 
Soit C le cercle trigonométrique de centre O, et A0, A1, A2, A3, A4, les points de C tels que les angles
(i, OAk) aient pour mesures respectives 2kπ5.
 
1) Faire une figure. 
 
On constatera que les points A0, A1, A2, A3, A4 sont les sommets consécutifs d'un pentagone régulier convexe.
 
2) Soit S le vecteur :
 
S=OA0+OA1+OA2+OA3+OA4.
 
a) Démontrer que S est colinéaire à OA0.
 
b) Démontrer que S est aussi colinéaire à OA1
 
(Indication : utiliser\ les\ coordonnées\ de\ points\ A_{0}\;,\ A_{1}\;,\ A_{2}\;,\ A_{3}\;,\ A_{4}\ dans\ le\ repère\ (O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})
 
c) En déduire que \vec{S} est le vecteur nul, puis les égalités :
 
(1)\quad \sin\dfrac{2\pi}{5}+\sin\dfrac{4\pi}{5}+\sin\dfrac{6\pi}{5}+\sin\dfrac{8\pi}{5}=0
 
(2)\quad 1+\cos\dfrac{2\pi}{5}+\cos\dfrac{4\pi}{5}+\cos\dfrac{6\pi}{5}+\cos\dfrac{8\pi}{5}=0
 
3) a) En utilisant l'égalité (2) précédente, démontrer que \cos\dfrac{2\pi}{5} est une solution de l'équation : 4X^{2}+2X-1=0.
 
b) Calculer : 
 
\cos\dfrac{2\pi}{5}\;,\ \cos\dfrac{4\pi}{5}\;,\ \sin\dfrac{2\pi}{5}\;,\ \tan\dfrac{2\pi}{5}.
 
4) Soit \Omega le point de coordonnées \left(-\dfrac{1}{2}\;;\ 0\right) et J le point de coordonnées (0\;,\ 1).
 
a) Déterminer une équation du cercle (\mathcal{C}) de centre \Omega et de rayon \Omega\,J.
 
b) Le point d'intersection du cercle (\mathcal{C}) et de l'axe des abscisses est positive est noté K.
 
Vérifier que l'abscisse de K est 2\cos\dfrac{2\pi}{5}.
 
c) Que représente la droite (EB) pour le segment [OK] ?
 
Déduire de ce qui précède une construction à la règle et au compas du pentagone régulier.

Exercice 4

Dans cet exercice, on admettra le résultat suivant :
 
« Pour tout réel a , il existe un unique réel b tel b^{3}=a ».
 
b est appelé racine cubique de a et noté \sqrt[3]{a}.
 
On considère deux réels p\text{ et }q tels que :
 
4p^{3}+27q^{2}>0 et on note f le polynôme défini pour x réel par : 
 
f(x)=x^{3}+px+q.
 
1) Soit u\text{ et }v deux réels solutions du système : 
(I)\quad\left\lbrace\begin{array}{lcl} u^{3}+v^{3}&=&-q\\ u\,v&=&-\dfrac{p}{3} \end{array}\right. 
 
Montrer que f(u+v)=0.
 
2) a) Résoudre le système : 
(II)\quad\left\lbrace\begin{array}{lcl} u^{3}+v^{3}&=&-q\\ u^{3}v^{3}&=&-\dfrac{p^{3}}{27} \end{array}\right. 
 
b) En déduire que le réel
 
\alpha=\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}\left(\sqrt[3]{-q+\dfrac{1}{3}\sqrt{\dfrac{4p^{3}+27q^{2}}{3}}}+\sqrt[3]{-q-\dfrac{1}{3}\sqrt{\dfrac{4p^{3}+27q^{2}}{3}}}\right)
 
est solution de l'équation x^{3}+px+q=0. On admettra que c'est la seule.
 
3) On cherche à résoudre l'équation : 
 
y^{3}+3y^{2}+\left(3-\sqrt[3]{2}\right)y+3=0\ (\ast).
 
a) On effectue pour cela le changement de variable y=x+h.
 
Déterminer h de façon que l'équation en x obtenue à partir de (\ast) soit de la forme x^{3}+px+q=0.
 
b) Calculer p\text{ et }q et déterminer le signe de 4p^{3}+27\,q^{2}.
 
c) Résoudre alors l'équation (\ast).   

                                                                                     Durée 4h
 

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