Devoir n° 29 1e S
Classe:
Première
Exercice 1
Soient un demi-cercle de centre O, de rayon R, de diamètre [AB], [OC] le rayon perpendiculaire à (AB), M un point du demi-cercle situé sur l'arc BC , D le point d'intersection de la droite (AB) et de la tangente en M au cercle.
On se propose de déterminer le point M de façon que :
MA=mMD,
où m est un paramètre réel strictement positif.
1) Soit x une mesure en radians de l'angle orienté (→AB, →AM).
Justifier que :
(→OB, →OM)=2x[2π].
Encadrer x.
2) Exprimer les distances AM et MD en fonction de R et x.
En déduire que le point M répond à la question si et seulement si x vérifie les deux u′ et u″ conditions :
(I){2cosx=mtanx0<x<π4
3) Exprimer tan2x en fonction de sinx et cosx.
En posant u=sinx, démontrer que la résolution du système (I) se ramène à celle du système :
(II){2u2+mu−1=00<u<√22
4) On considère l'équation du second degré :
2u2+mu−1=0
Montrer que cette équation admet deux racines u′ et u″ de signes contraires, puis classer √22 par rapport à u′ et u″.
5) Déduire de la question précédente que le système (II) admet, quel que soit m∈R+, une solution unique u , dont on donnera l'expression en fonction de m.
6) Conclure quant au problème posé.

Exercice 2
Soit f la fonction définie par :
f(x)=√1+x+√1−x√1+x−√1−x
1) Déterminer l'ensemble de définition de f.
2) Démontrer que, pour tout x élément de Df , on a :
f(x)=1+√1−x2x
3) Démontrer que la fonction f est impaire.
4) Étudier limx→1−f(x)−f(1)x−1.
Que peut-on en déduire ?
5) Sur quelle partie de Df la fonction f est-elle dérivable ?
Déterminer sa fonction dérivée f′.
6) Dresser le tableau de variation de f.
Exercice 3
Le plan est rapporté au repère orthonormé direct (O, →i, →j).
Soit C le cercle trigonométrique de centre O, et A0, A1, A2, A3, A4, les points de C tels que les angles
(→i, →OAk) aient pour mesures respectives 2kπ5.
1) Faire une figure.
On constatera que les points A0, A1, A2, A3, A4 sont les sommets consécutifs d'un pentagone régulier convexe.
2) Soit →S le vecteur :
→S=→OA0+→OA1+→OA2+→OA3+→OA4.
a) Démontrer que →S est colinéaire à →OA0.
b) Démontrer que →S est aussi colinéaire à →OA1
(Indication : utiliser\ les\ coordonnées\ de\ points\ A_{0}\;,\ A_{1}\;,\ A_{2}\;,\ A_{3}\;,\ A_{4}\ dans\ le\ repère\ (O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})
c) En déduire que \vec{S} est le vecteur nul, puis les égalités :
(1)\quad \sin\dfrac{2\pi}{5}+\sin\dfrac{4\pi}{5}+\sin\dfrac{6\pi}{5}+\sin\dfrac{8\pi}{5}=0
(2)\quad 1+\cos\dfrac{2\pi}{5}+\cos\dfrac{4\pi}{5}+\cos\dfrac{6\pi}{5}+\cos\dfrac{8\pi}{5}=0
3) a) En utilisant l'égalité (2) précédente, démontrer que \cos\dfrac{2\pi}{5} est une solution de l'équation : 4X^{2}+2X-1=0.
b) Calculer :
\cos\dfrac{2\pi}{5}\;,\ \cos\dfrac{4\pi}{5}\;,\ \sin\dfrac{2\pi}{5}\;,\ \tan\dfrac{2\pi}{5}.
4) Soit \Omega le point de coordonnées \left(-\dfrac{1}{2}\;;\ 0\right) et J le point de coordonnées (0\;,\ 1).
a) Déterminer une équation du cercle (\mathcal{C}) de centre \Omega et de rayon \Omega\,J.
b) Le point d'intersection du cercle (\mathcal{C}) et de l'axe des abscisses est positive est noté K.
Vérifier que l'abscisse de K est 2\cos\dfrac{2\pi}{5}.
c) Que représente la droite (EB) pour le segment [OK] ?
Déduire de ce qui précède une construction à la règle et au compas du pentagone régulier.
Exercice 4
Dans cet exercice, on admettra le résultat suivant :
« Pour tout réel a , il existe un unique réel b tel b^{3}=a ».
b est appelé racine cubique de a et noté \sqrt[3]{a}.
On considère deux réels p\text{ et }q tels que :
4p^{3}+27q^{2}>0 et on note f le polynôme défini pour x réel par :
f(x)=x^{3}+px+q.
1) Soit u\text{ et }v deux réels solutions du système :
(I)\quad\left\lbrace\begin{array}{lcl} u^{3}+v^{3}&=&-q\\ u\,v&=&-\dfrac{p}{3} \end{array}\right.
Montrer que f(u+v)=0.
2) a) Résoudre le système :
(II)\quad\left\lbrace\begin{array}{lcl} u^{3}+v^{3}&=&-q\\ u^{3}v^{3}&=&-\dfrac{p^{3}}{27} \end{array}\right.
b) En déduire que le réel
\alpha=\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}\left(\sqrt[3]{-q+\dfrac{1}{3}\sqrt{\dfrac{4p^{3}+27q^{2}}{3}}}+\sqrt[3]{-q-\dfrac{1}{3}\sqrt{\dfrac{4p^{3}+27q^{2}}{3}}}\right)
est solution de l'équation x^{3}+px+q=0. On admettra que c'est la seule.
3) On cherche à résoudre l'équation :
y^{3}+3y^{2}+\left(3-\sqrt[3]{2}\right)y+3=0\ (\ast).
a) On effectue pour cela le changement de variable y=x+h.
Déterminer h de façon que l'équation en x obtenue à partir de (\ast) soit de la forme x^{3}+px+q=0.
b) Calculer p\text{ et }q et déterminer le signe de 4p^{3}+27\,q^{2}.
c) Résoudre alors l'équation (\ast).
Durée 4h
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