Devoir n° 29 - 2nd s

Soit une base $(\vec{i}\;,\ \vec{j})\;$ du plan.

 

1) Déterminer le réel $m$ pour que les vecteurs $\vec{w}=2\vec{u}-\vec{v}$ et $\vec{j}$ soient colinéaires sachant que $\vec{u}=2\vec{i}+7\vec{j}$ et $\vec{v}=m\vec{i}+(m-1)\vec{j}.$

 

2) Exprimer alors $\vec{w}$ en fonction de $\vec{i}.$

Dans le repère $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})\;$, on considère les points $A(1\;,\ 2)\;;\ B(4\;,\ 2)$ et $C(2\;,\ 6).$

 

$I$ est le milieu de $[BC].\ J\;,\ K$ et $L$ sont les points tels que $ACIJ\;,\ AKCB$ et $AILB$ soient des parallélogrammes. Calculer les coordonnées de $I\;,\ J\;,\ K$ et $L.$

 

Préciser la position des points $K\;,\ J$ et $L.$

Dans le repère $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})\;$, on considère les points $A(2\;,\ 4)\;,\ B(1\;,\ 2)\;,\ C(5\;,\ y)$ et $D(x\;,\ 2).$

 

Montrer qu'on peut déterminer $x$ et $y$ tels que $ABCD$ soit un rectangle.

 

Déterminer les coordonnées de son centre.

$ABC$ est un triangle. $E=S_{B}(A)\;;\ D=S_{C}(A)\;;\ F$ est le milieu de $[BD]$ et $G$ celui de $[CE].$ On considère le repère $(A\;,\ \overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AC}).$

 

1) Donner les coordonnées des points $A\;,\ B\;,\ C\;,\ D\;,\ E\;,\ F\;,\ G.$

 

2) Écrire les systèmes d'équations paramétriques des droites $(AF)\;,\ (AG)$ et $(BC).$

 

En déduire les coordonnées des points $M$ et $N$ d'intersection de $(BC)$ avec respectivement $(AF)$ et $(AG).$

 

3) $I$ est le milieu de $[CD]$ et $J$ celui de $[BE].$ 

 

Montrer que : $\overrightarrow{IF}=\overrightarrow{FG}=\overrightarrow{GJ}.$

 

4) Soit $K$ le milieu de $[AF].$ Calculer les coordonnées de $K$ et montrer que les points $K\;,\ N\;,\ J$ sont alignés.

 

5) Donner un système d'équations paramétriques des droites $(CE)$ et $(BD)\;$; en déduire les coordonnées de leur points d'intersection $P.$

 

Montrer que $(MP)//(AB).$

 

 

$$\text{Durée : 2 h}$$