Devoir n° 3 - 1e S1

1) Résoudre les équations et inéquations suivantes :

 

a) $x+1>\sqrt{x(x-1)}\quad$ b) $\sqrt{x^{2}+3x-4}>x-2\quad$ c) $\sqrt{x^{2}-mx+1}=x+3m$

 

N.B. Pour c), on discutera suivant les valeurs de $m.$

 

2) Résoudre et discuter le système d'inéquations $$(I)\ \left\lbrace\begin{array}{rcl} mx-1&>&0 \\ (3m-2)x-m&>&0\end{array}\right.$$

dans lequel $m$ désigne un paramètre.

Soit $[Ox)$ et $[Ox')$ deux demi-droites telles que l'angle $x'Ox$ ait pour mesure $60^{\circ}.\;\ A$ est un point de la demi-droite $[Ox)$ tel que $OA=8a\;,\ B$ est le projeté orthogonal de $A$ sur $[Ox')$ et $C$ le milieu du segment $[OB].$

Un point $M$ du segment $[OA]$ est défini par la distance : $OM=2x.$

 

1) Calculer, en fonction de $a$ et de $x\;$, les expressions de : $MB^{2}\;,\ MC^{2}$ et $s=MB^{2}+MC^{2}.$

 

2) Résoudre et discuter suivant les valeurs du paramètre $b\;$, réel positif, le système : $$\left\lbrace\begin{array}{rcl} 8x^{2}-12ax+20a^{2}-b&=&0\quad(1) \\ 0\leq x\leq 4a& &\quad(2)\end{array}\right.$$

dans lequel $a$ est un réel fixé. (on sera amené à classer 0 et $4a$ par rapport aux racines de (1)).

 

3) Déterminer le point $M$ pour que $s$ ait une valeur donnée $b.$ Discuter le nombre de solutions suivant les valeurs de $b.$ On pourra utiliser les résultats du 2).

Soit la fonction trinôme $f\ :\ x\longmapsto ax^{2}+bx+c$ et $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

 

1) Déterminer les coefficients $a\;,\ b\;,\ c$ pour que $f$ admette au point $x=2$ un minimum égal à $-9$ et que la courbe $\mathcal{C}_{f}$ coupe l'axe $[Oy)$ au point d'ordonnée $-5.$

 

Tracer alors la courbe $\mathcal{C}_{f}$.

 

2) Soit $\mathfrak{D}$ la droite d'équation $y=kx-9\;$, où $k$ est un entier relatif.

 

Déterminer suivant les valeurs de $k$ le nombre de points d'intersection de $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathfrak{D}.$

 

3) On désigne par $K$ l'ensemble des valeurs des valeurs de $k$ pour lesquelles l'ensemble $E=\mathcal{C}_{f}\cap\mathfrak{D}$ n'est pas vide. Soient $k\in K\;$, et $M_{1}$ et $M_{2}$ les points distincts ou confondus de $E.$

 

Calculer, en fonction de $k\;$, les coordonnées du milieu $I$ de $[M_{1}M_{2}].$

 

4) On considère la fonction trinôme $g\ :\ x\longmapsto 2x^{2}-4x-9$ et sa courbe représentative $\mathcal{C}_{g}.$

 

Montrer qu'à tout nombre $k\in K\;$, on peut associer un point $I\in\mathcal{C}_{g}.$

 

L'application de $K$ vers $\mathcal{C}_{g}$ ainsi définie est-elle injective ? surjective ?

Soit l'équation $(E)\ :\ 2\sin^{2}x-2\sin x-m=0.$

 

1) Discuter, suivant les valeurs du paramètre $m$ le nombre de solutions de $(E)$ qui appartiennent à l'intervalle $\left[-\dfrac{\pi}{6}\;;\ \dfrac{\pi}{3}\right].$

 

2) Résoudre l'équation $(E)$ pour $m=1-\sqrt{2}.$

Dans tout le problème, $ABCD$ est un rectangle de centre $O\;$, et $p$ et $q$ deux réels appartenant à l'intervalle $]0\;;\ 1[.$ On note $I$ et $J$ les points tels que $\overrightarrow{AI}=p\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DJ}=q\overrightarrow{DI}.$

 

Le but du problème est de trouver à quelle condition portant sur $p$ et $q\;$, les points $A\;,\ J\;,\ C\;$, sont alignés. On propose diverses méthodes.

 

A. Dans cette partie, $p=12$ et $q=23.$

 

1. Solution géométrique

 

a) Placer $I$ et $J$ et montrer que $J$ est le centre de gravité du triangle $ADB.$

 

b) En déduire l'alignement des points $A\;,\ J\;,\ C.$

 

2. Solution vectorielle

 

a) Exprimer le vecteur $\overrightarrow{AJ}$ en fonction de $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AB}.$

 

b) En déduire l'alignement des points $A\;,\ J\;,\ C.$

 

B. On revient au cas général, $p$ et $q$ sont deux réels de l'intervalle $]0\;;\ 1[.$

 

1. Solution barycentrique

 

a) Montrer que $I$ est barycentre de $\{(A\;,\ 1-p)(B\;,\ p)\}.$

 

b) De la même manière, montrer que $J$ peut être considéré comme le barycentre de $\{(D\;,\ \alpha)(I\;,\ \beta)\}\;$, où $\alpha$ et $\beta$ seront exprimés en fonction de $q.$

 

c) En déduire que "$A\;,\ J\;,\ O\;$, donc $A\;,\ J\;,\ C\;$, sont alignés" équivaut à : $pq=1-q.$

 

2. Solution vectorielle

 

a) Démontrer que $\overrightarrow{AJ}=(1-q)\left(\overrightarrow{AD}+\dfrac{pq}{1-q}\overrightarrow{AB}\right).$

 

b) En déduire que "Les points $A\;,\ J\;,\ C\;$, sont alignés" équivaut à : 

 

$q(1+p)=1.$

 

2. Solution analytique

 

Le plan muni d'un repère orthonormal $(A\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ dans lequel $B$ et $D$ ont respectivement pour coordonnées $(b\;;\ 0)$ et $(0\;;\ d).$

 

a) Calculer les coordonnées de $I\;$, puis celles de $J.$

 

b) En déduire une condition nécessaire et suffisante portant sur $p$ et $q\;$, pour que les points $A\;,\ J\;,\ C$ soient alignés.

Soient $\mathfrak{D}$ et $\mathfrak{D}'$ deux droites sécantes en $O.$ Soit $\Delta$ une droite ne passant pas par $O$ et qui coupe $\mathfrak{D}$ en $A$ et $\mathfrak{D}'$ en $B.$ Un point $M$ de $\Delta$ se projette en $E$ sur $\mathfrak{D}$ parallèlement à $\mathfrak{D}'$ et en $F$ sur $\mathfrak{D}'$ parallèlement à $\mathfrak{D}.$

 

1) Démontrer que $\dfrac{\overline{OE}}{\overline{OA}}+\dfrac{\overline{OF}}{\overline{OB}}=1.$

 

2) Soient $E$ et $F$ deux points respectivement de $\mathfrak{D}$ et $\mathfrak{D}'$ et vérifiant la relation : $\dfrac{\overline{OE}}{\overline{OA}}+\dfrac{\overline{OF}}{\overline{OB}}=1.$ Soit $M$ le point tel $OEMF$ soit un parallélogramme.

 

Démontrer que $M$ est sur la droite $\Delta.$

 

 

$$\text{Durée 4 h}$$