Devoir n° 3 - TL

 

Un sac contient $2$ jetons rouges $3$ jetons verts et $5$ jetons bleus indiscernables au toucher.

 

A) On tire simultanément 3 jetons de ce sac. Déterminer :

 

1) Le nombre de tirages possibles.

 

2) Le nombre de tirages comportant des jetons de même couleur

 

3) Le nombre de tirages ne comportant aucun jeton de couleur verte

 

4) Le nombre de tirages comportant au moins $1$ jeton rouge

 

5) Le nombre de tirages comportant au plus $2$ jetons bleus

 

B) Reprendre l'exercice dans le cas d'un tirage successif sans remise

 

On donne le polynôme $P(x)=2x^{3}+9x^{2}+4x-15$

 

1) Vérifier que $-3$ est une racine de $P(x).$ En déduire une factorisation de  $P(x).$

 

2) Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes.

 

a) $P(x)=0\ $  et $\ P(x)>0$

 

b) $2(\ln x)^{3}+9(\ln x)^{2}+4(\ln x)-15=0$ 

 

c) $2\mathrm{e}^{3x}+9\mathrm{e}^{2x}+4\mathrm{e}^{x}-15=0$

 

Partie A

 

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0\;;\ +\infty[$ par :

$$g(x)=-1+\mathrm{e}^{x-1}+\ln x$$

où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien et e est sa base.

 

1) a) Calculer la limite de la fonction $g$ en $0$, puis en $+\infty.$

 

b) Calculer $g(1).$

 

2) a) Étudier le sens de variation de la fonction $g$ et dresser son tableau de variation.

 

b) En déduire le signe de $g(x)$ suivant les valeur de $x.$

 

Partie B

 

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0\;;\ +\infty[$ par :

$$f(x)=x(-2+\ln x)+\mathrm{e}^{x-1}$$

On désigne par $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan rapporté au repère orthonormé $(O\;,\ I\;;\ J).$ On prendra pour unité de longueur $4\;cm.$

 

1) Calculer la limite de $f$ en $0$ et en $+\infty.$

 

2) Soit $f'$ la fonction dérivée De la fonction $f.$

 

a) Pour tout $x$ de $]0\;;\ +\infty[$, calculer $f'(x)$ et en déduire les variations de $f.$

 

b) Dresser le tableau de variation de $f.$

 

5) Tracer la courbe $(\mathcal{C})$

 

Partie C

 

1) Soit h la fonction définie sur $]0\;;\ +\infty[$ par :

$$h(x)=\dfrac{5}{4}+\dfrac{x^{2}}{2}\left(-\dfrac{5}{2}+\ln x\right)$$

a) Déterminer la fonction $h'(x)$ la fonction dérivée de $h(x)$

 

b) En déduire une primitive $F$ de $f(x)$

 

 

 

$$\text{Durée 3 heures}$$