Devoir n° 3 - Ts1

 

Soit $f$ la fonction définie par :

$$f(x)=\dfrac{\sin x+\sin 2x}{1+\cos x}$$

et $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative.

 

1) Déterminer $D_{f}.$ Justifier que l'ensemble d'étude de $f$ peut être réduit à l'intervalle $\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right[$

 

2) Démontrer que $$\forall\;x\in D_{f}\;,\ f'(x)=\dfrac{2\cos x+\cos 2x}{1+\cos x}$$

 

3) Vérifier que sur $[0\;;\ \pi[\;,\ (\mathcal{C})$ présente une branche infinie dont on précisera la nature.

 

4) Dresser le tableau de variation de $f$ sur $[0\;;\ \pi[.$

 

5) Tracer $(\mathcal{C})$ sur l'intervalle $[-2\pi\;;\ 2\pi]$ ; préciser les cordonnées de ses points d'inflexion.

 

L'espace est muni d'un repère orthonormal  direct $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\;,\ \vec{k}).$

Soit les plans $P\ $ et $\ Q$ d'équation respectives :

$$3x-5y+z-4=0\quad\text{ et}\quad -x+3y-2z+1=0$$

et le point $A(3\;;\ -1\;;\ -1).$

 

1) Déterminer $\vec{u}\ $ et $\ \vec{v}$, vecteurs normaux respectifs aux plans $P\ $ et $\ Q.$ Démontrer que $P\ $ et $\ Q$ sont sécants (on désigne par  leur droite d'intersection).

 

2) Démontrer que l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que

$$\overrightarrow{AM}\cdot(\vec{u}\wedge\vec{u})=0$$

est un plan $R$ que l'on caractérisera géométriquement. Déterminer une équation de $R.$

 

1) a) Trouver à l'aide de l'algorithme d'Euclide, le $pgcd$ des nombres $1683\ $ et $\ 969$

 

1) b) Résoudre dans $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ les équations

$$969x-1683y=51\quad\text{ et }\quad 969x-1683y=102$$

2) a) Résoudre dans $\mathbb{Z}$ chacune des équations

$$3x\equiv 1[5]\quad\text{ et }\quad 5x\equiv 2[7]$$

2) b) Résoudre dans $\mathbb{Z}$ le système

$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} 3x&\equiv&1[5]\\5x&\equiv&2[7]\end{array}\right.$$

 

D'une urne contenant n boules noires et n boules blanches, un joueur tire successivement avec remise six boules. S'il tire une boule blanche, il marque deux points, sinon il perd trois points.

 

On note $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre des points obtenus par le joueur au bout des six tirages.

 

1) a) Déterminer la loi de probabilité de $X$

 

1) b) Calculer l'espérance mathématique $E(X)$ et la variance $V(X)$ de $X.$

 

2) a) Déterminer à l'aide des probabilités trouvées au 1)a) la probabilité de l'événement $(|X-E(X)|\geq 9).$

 

2) b) En déduire la probabilité de l'événement $(|X-E(X)|<9).$

 

1) Déterminer les primitives des fonctions

$$f(x)=(\cos x)^{4}(\sin x)^{2}\quad\text{ et }\quad g(x)=(\sin x)^{5}(\cos x)^{4}$$

 

2) On donne la fonction définie sur $]2\;;\ +\infty[$  par

$$f(x)=\dfrac{3x^{2}-x-5}{(1+x^{2})(x-2)}$$

 

a) Trouver les réels  $a\;,\ b\;,\ c$ tels que

$$f(x)=\dfrac{ax+b}{1+x^{2}}+\dfrac{c}{x-2}$$

b) En déduire une primitive $F$ de $f$

 

 

 

$$\text{Durée 4 heures}$$